1. Inverse d’un nombre relatif

Définition.
Deux nombres relatifs sont inverses l’un de l’autre si leur produit est égal à 1.
Si $x$ et $x’$ sont des nombres relatifs non nuls, alors $x’$ est l’inverse de $x$ si et seulement si $ \color{red}{ x \times x’ =1}$.
L’inverse d’un nombre relatif $x$ non nul se note $ \color{red}{\dfrac{1}{x}}$ ou encore $\color{red}{x^{-1}}$.

Propriétés 1.
1°) $0$ n’a pas d’inverse. (aucun nombre, multiplié par $0$ ne donne $1$).
2°) Un nombre relatif $x$ et son inverse sont obligatoirement de même signe et :
$$ \color{red}{\boxed{\; x\times\dfrac{1}{x}=1\;}\;\textrm{et}\; \boxed{\; \dfrac{1}{x} \times x=1\;}}$$
3°) Si $x$ est un nombre relatif non nul, alors l’inverse de son inverse est égal à lui-même.
$$ \color{red}{\boxed{\;
\dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{x}\right)} =x \; }}$$

2. Inverse d’une fraction

Propriété 2.
4°) Si $a$ et $b$ sont deux nombres relatifs non nuls, alors l’inverse de $\dfrac{a}{b}$ est $\dfrac{b}{a}$ :$$\color{red}{\boxed{~\dfrac{1}{\left(\dfrac{a}{b}\right)}=\dfrac{b}{a}~}}$$

3. Exercices résolus

Exemple résolu n°1.
Déterminer les inverses des nombres suivants :
1°) $x=2$ ; $x=-3$
2°) $x=0,25$ et $x=-1,6$

Corrigé.
1°) $2\neq 0$, donc $2$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{2}=0,5$.

$-3\neq 0$, donc $-3$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{-3}=-\dfrac{1}{3}$. Ce nombre a une écriture décimale illimitée. On garde l’écriture fractionnaire.

2°) $0,25\neq 0$, donc $0,25$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{0,25}=\dfrac{1\times4}{0,25\times4}=\dfrac{4}{1}=4$.

$-1,6\neq 0$, donc $-1,6$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{-1,6}=\dfrac{1\times10}{-1,6\times10}=-\dfrac{10}{16}=-\dfrac{10\div2}{16\div2}=-\dfrac{5}{8}$.

Exemple résolu n°1.
Déterminer les inverses des nombres suivants :
1°) $x=-\dfrac{4}{5}$
2°) $y=\dfrac{-2}{5}$.

Corrigé.
1°) $x\neq 0$, donc $x$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{x}=\dfrac{1}{-\dfrac{4}{5}}= -\dfrac{5}{4}$.
D’où : $\color{red}{\dfrac{1}{x}= -\dfrac{5}{4}}$.
2°) $y\neq 0$, donc $y$ est inversible et son inverse est : $\dfrac{1}{y}=\dfrac{1}{\dfrac{-2}{5}}= \dfrac{5}{-2}= -\dfrac{5}{2}$.
D’où : $\color{red}{\dfrac{1}{y}= -\dfrac{5}{2}}$.

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