Intercaler ou insérer un nombre entre deux nombres » $a$ et $b$, $a<b$ , c’est trouver un nombre particulier compris entre $a$ et $b$.

1. Intercaler ou insérer un nombre entre deux nombres entiers

Définition 1.
Intercaler ou insérer un nombre entre deux nombres » $a$ et $b$, $a<b$, c’est trouver un troisième nombre particulier compris entre $a$ et $b$.

Exemple

Exercice 1.
Intercaler un nombre entier entre les deux nombres entiers suivants : 21 et 25.

Corrigé
$\bullet$ On commence par ranger ces deux nombres par ordre croissant. On a bien : $$21<25.$$ $\bullet$ Tous les nombres entiers compris entre $21$ et $25$ donnent une bonne réponse. On a en particulier : $$\boxed{~21<22<25~}$$
$\bullet$ D’autres nombres répondent à la question. On a aussi : $$\boxed{~21<23<25~} ~\text{et}~\boxed{~21<24<25~}$$
Finalement, les seuls nombres entiers compris entre $21$ et $25$ sont : $22$, $23$ et $24$. $\blacktriangle$

3. Utiliser une demi-droite graduée pour intercaler ou insérer un nombre entre deux nombres entiers

Méthode.
Pour intercaler ou insérer un nombre entre deux nombres entiers, on construit une demi-droite graduée en choisissant une unité convenable. On place les deux nombres $a$ et $b$ comme abscisses de points sur cette demi-droite. Puis on cherche une abscisse comprise entre les deux nombres $a$ et $b$.

Exemple

Exercice 2.
Intercaler ou insérer un nombre ayant $0$ comme chiffre des unités, entre deux nombres entiers 42 et 78.

Corrigé
$42$ et $78$ sont compris entre $0$ et $100$. On construit une demi-droite graduée « de 10 en 10 » entre $0$ et $100$.

On place les deux nombres $42$ et $78$ comme des abscisses de points sur la demi-droite. Puis on cherche les abscisses ayant $0$ comme chiffre des unités. Ici, nous avons trois réponses possibles. Il suffit d’en choisir une. On a en particulier : $$\boxed{~42<50<78~}$$ On a aussi : $$\boxed{~42<60<78~} ~\text{et}~\boxed{~42<70<78~}$$
Finalement, les seuls nombres entiers compris entre $42$ et $78$ sont : $50$, $60$ et $70$. $\blacktriangle$

3. Exercices à terminer

Exercice 3.
En utilisant la méthode de votre choix, intercaler ou insérer un nombre entier entre deux nombres entiers 64 et 85. Combien y a-t-il de solutions possibles ?

Exercice 4.
En utilisant la méthode de votre choix, intercaler ou insérer un nombre ayant $0$ comme chiffre des unités, entre deux nombres entiers 231 et 258.