Inclusion. Sous-ensemble. Égalité de deux ensembles. Ensemble des parties de $E$

1. Inclusion. Sous-ensemble

Pour simplifier les écritures symboliques, on peut utiliser les quantificateurs :
« $\forall$ » = « Quel que soit » = « Pour tout »
« $\exists$ » = « Il existe au moins un »
« $\exists!$ » = « Il existe exactement un »
Le slash « / » = « tel que »

Définition 3.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que $E$ est une partie ou un sous-ensemble de $F$ ou encore que $E$ est inclus ou contenu dans $F$ et on note $E\subset F$, si et seulement si, tout élément de $E$ est un élément de $F$.
On dit aussi que $F$ contient $E$ et on note : $F\supset E$.

Proposition 1.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E\subset F$ si et seulement si, pour tout $x$ :
$$[E\subset F]\;\text{ (ssi) }(\forall x) [\, x\in E\Rightarrow x\in F\,]$$

Exemples.
On connaît la suite des inclusions entre les ensembles des nombres vues en Seconde.
$$\N\subset\Z$$

En effet, si $x\in\N$, alors $x$ est un entier naturel. Donc, $x$ est un entier relatif positif ou nul. Par conséquent $x\in\Z$.
Conclusion. $\N\subset\Z$.

Proposition 2. (Négation)
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E$ n’est pas inclus dans $F$ et on note $E\not\subset F$ si et seulement si, il existe au moins un $x$ tel que : $x\in E$ et $x\not\in F$.
Avec les symboles :
$$[E\not\subset F]\;\text{ (ssi) }(\exists x)\text{ tel que } [\, x\in E\text{ et }x\not\in F\,]$$

Exemple.

2. Égalité de deux ensembles

Définition 4.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. On dit que les ensembles $E$ et $F$ sont égaux et on note $E=F$, si et seulement si, tout élément de $E$ est un élément de $F$ et réciproquement.

Proposition 3.
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E=F$ si et seulement si :
$$[E=F]\Leftrightarrow[\,E\subset F\;\text{ et }\;F\subset E\,]$$

Proposition 4. (Négation)
Soient $E$ et $F$ deux ensembles. Alors $E\not=F$ si et seulement si, il existe un $x\in E$ tel que $x\not\in F$, ou bien il existe un $x\in F$ tel que $x\not\in E$. Autrement dit :
$$[E\not=F]\Leftrightarrow[\,E\not\subset F\;\text{ ou }\;F\not\subset E\,]$$

3. Ensemble des parties d’un ensemble $E$

Définition 3.
Soit $E$ un ensemble. On appelle ensemble des parties de $E$ et on note ${\cal P}(E)$, l’ensemble de toutes les sous-ensembles de $E$. On a alors :
$$\begin{array}{c}
A\in{\cal P}(E) \Leftrightarrow A\subset E\\
{\cal P}(E)=\{A / A\subset E \}\\ \end{array}$$

Exemples.
Soit $E$ un ensemble. Alors
$$\begin{array}{ll}
E=\emptyset & {\cal P}(E)=\{\emptyset \} \\
E=\{a\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset; E \} \\
E=\{a;b\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset;\{a\};\{b\}; E \} \\
E=\{a;b;c\} & {\cal P}(E)=\{\emptyset;\{a\};\{b\};\{a;b\};\{a;c\};\{b;c\};E \} \\
\end{array}$$

Exercice résolu n°1.