Grandeurs produits et grandeurs quotients

Définitions 1.
Une grandeur produit est le produit de deux ou plusieurs grandeurs. L’unité utilisée est le produit des unités.
Une grandeur quotient est le quotient de deux grandeurs. L’unité utilisée est le quotient des deux unités.

Remarques

  1. Certaines grandeurs n’acceptent que des grandeurs carrées ou cubes. Par exemple, l’aire d’un rectangle est exprimée en mm$\times$mm$=$mm$^2$, le cm$^2$, le dm$^2$, le m$^2$, etc.
  2. Les unités quotients, km/h par exemple, peuvent s’écrire de deux manières : km/h (Lire « kilomètres par heure » et non « km heure ») ou km h$^{-1}$ (Lire « kilomètres heure $-1$ ») . On rencontre aussi l’unité de m s$^{-1}$ qui signifie m/s, Lire « mètres par seconde ».

Exemples

L’aire d’un rectangle

L’aire d’un rectangle est égale au produit de sa longueur par sa largeur. Donc, l’aire d’un rectangle est une grandeur produit. $$\boxed{\;\;{\mathcal A}=L\times\ell\;\;}$$
L’unité utilisée est le produit des deux (mêmes) unités.

Exercice 1.
Calculer l’aire du rectangle de longueur $L=5$cm et de largeur $\ell=4$cm

L’aire du rectangle de longueur $L=5$cm et de largeur $\ell=4$cm, est alors : $${\mathcal A}=L\times\ell=5\times4=20~\text{cm}^2$$ CQFD.$\blacktriangle$

Le volume d’un cylindre

Le volume d’un cylindre est égal au produit de l’aire de la base ${\mathcal B}$ par la hauteur $h$ du un cylindre. Donc, le volume d’un cylindre est une grandeur produit. $$\boxed{\;\;{\mathcal V}={\mathcal B}\times h\;\;}$$

Exercice 2.
Calculer le volume d’un cylindre dont l’aire de la base est ${\mathcal B}=314~\text{cm}^2$ et de hauteur $h=5\text{cm}$.

Le volume est égal à : $${\mathcal V}={\mathcal B}\times h=314\times 5=1570~\text{cm}^2$$ CQFD.$\blacktriangle$

La vitesse moyenne de déplacement d’un véhicule

La vitesse moyenne $v$ de déplacement d’un TGV est le quotient de la distance $d$ parcourue par le temps $t$ de parcours. Donc la vitesse moyenne de déplacement d’un mobile est une grandeur quotient. $$\boxed{\;\; v=\dfrac{d}{t} \;\;}$$

Exercice 3.
Un TGV (Train à grande vitesse) parcours la distance Paris-Marseille de $775$ km en $3\,$h $45\,$min.
Ce TGV respecte-t-il la vitesse de $300$ km/h ?

Ici le temps n’est pas exprimé dans une même unité. On ne peut pas effectuer les calculs directement. Il faut convertir en minutes, on obtiendrait une vitesse en km/min, ou bien il faut convertir en heures, et on obtiendrait une vitesse en km/h.
Or $1$ min${}=\dfrac{1}{60}~$h. Donc : 45 min${}=45\times\dfrac{1}{60}=\dfrac{45}{60}=\dfrac{3}{4}=0,75~$h.
Donc le temps de parcours est de $3,75$ h (en décimal avec une seule unité).
La vitesse moyenne de déplacement de ce TGV est donc de : $$v=\dfrac{d}{t}=\dfrac{775}{3.75}\approx206,7~\text{km/h}$$
Conclusion. Ce TGV ne respecte pas la vitesse de $300$ km/h.
CQFD.$\blacktriangle$

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