Connaître et utiliser quelques fractions simples comme opérateur de partage en faisant le lien entre les formulations en langage courant et leur écriture mathématique. Par exemple, faire le lien entre « la moitié de » et multiplier par $\dfrac{1}{2}$.
1. Fractions opérateurs et fractions équivalentes
Une fraction peut être utilisée comme « opérateur de partage d’une unité », d’un groupe ou d’une quantité.
Exercice n°1.
« Les quatre cinquièmes d’une classe de 30 élèves, ont obtenu une note supérieure ou égale à 10/20 ». Calculer le nombre d’élèves ayant obtenu la moyenne. On écrit : $\dfrac{4}{5}{\color{brown}{\textbf{ de }}}30$.
En réalité, on cherche une fraction équivalente avec un dénominateur égal à 30. $$\dfrac{\square}{30}=\dfrac{4}{5}$$
Règle 1.
Prendre les $\dfrac{4}{5}$ de 30, c’est multiplier 30 par $\dfrac{4}{5}$.
Pour multiplier un nombre par $\dfrac{a}{b}$, on peut utiliser l’une des trois méthodes :
1°) On multiplie le nombre par le numérateur $a$, puis on divise par le dénominateur $b$.
2°) On divise le nombre par le dénominateur $b$, puis on le multiplie par le numérateur $a$.
3°) On divise $a$ par $b$, puis on multiplie le nombre par le résultat obtenu.
Remarque
$\bullet$ Ces trois méthodes donnent le même résultat.
$\bullet$ Parfois, la division de $a$ par $b$ ne donne pas un nombre décimal. On choisira plutôt la première méthode.
Méthodes de calcul
Pour calculer le nombre d’élèves ayant obtenu une note supérieure à 10/20, on utilise l’une des trois méthodes :
1ère méthode :
$\square=\dfrac{4}{5}{\color{brown}{\text{ de }}}30
=30{\color{brown}{\times }}\dfrac{4}{5}
=30\times 4\div 5=120\div 5= {\color{brown}{\boxed{~24~}}}$.
2ème méthode :
$\square=\dfrac{4}{5}{\color{brown}{\text{ de }}}30
=30{\color{brown}{\times }}\dfrac{4}{5}
=30\div 5 \times 4=6\times 5= {\color{brown}{\boxed{~24~}}}$.
3ème méthode :
$\square=\dfrac{4}{5}{\color{brown}{\text{ de }}}30
=30{\color{brown}{\times }}\dfrac{4}{5}
=30{\color{brown}{\times }}\left(\dfrac{4}{5}\right)=30{\color{brown}{\times }}\left(4\div5\right) =30\times 0,8={\color{brown}{\boxed{~24~}}}$.
Conclusion. 24 sur les 30 élèves ont obtenu une note supérieure à 10/20.
CQFD. $\blacktriangle$
En réalité, on obtient une fraction équivalente avec un dénominateur égal à 30. $$\dfrac{4}{5}=\dfrac{24}{30}$$
Exercice n°2.
« La moitié des élèves d’une classe de 30 élèves, a obtenu une note supérieure ou égale à 14/20 ». Calculer le nombre d’élèves ayant obtenu une note supérieure ou égale à 14/20. On écrit : $\dfrac{4}{5}{\color{brown}{\textbf{ de }}}30$.
En réalité, on cherche une fraction équivalente avec un dénominateur égal à 30. $$\dfrac{\square}{30}=\dfrac{1}{2}$$
Règle 1.
Pour multiplier un nombre par $\dfrac{1}{b}$, il suffit de le diviser par $b$. $$30\times\dfrac{1}{b}=30\times 1\div b =30\div b$$
Par exemple : $$\text{La moitié}~\textbf{de}~30 = 30\times\dfrac{1}{2}=30\times 1\div 2 =30\div 2=\boxed{~15~}$$
Conclusion. Dans cette classe, 15 élèves sur 30, ont obtenu une note supérieure ou égale à 14/20.
En réalité, on obtient une fraction équivalente avec un dénominateur égal à 30. $$\boxed{~\dfrac{1}{2}=\dfrac{15}{30}~}$$ CQFD. $\blacktriangle$
2. Exercices résolus
Exercice n°3.
Calculer : $A$ = Les $\dfrac{3}{7}$ de $35$ et $B$ = Les $\dfrac{2}{3}$ de $57$.
Exercice n°4.
Sur les 640 élèves du Collège Mondétour, les $\dfrac{5}{8}$ sont demi-pensionnaires.
Calculer le nombre $N$ d’élèves demi-pensionnaires dans cet établissement.