Le PGCD est un outil puissant pour simplifier des fractions et obtenir des fractions irréductibles.

1. Fractions irréductibles

Définition 1.
Une fraction est dite irréductible lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux.

Propriété 1.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers non nuls. La fraction $\dfrac{a}{b}$ est irréductible si, et seulement si, les entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux, donc si, et seulement si : $$\boxed{~~PGCD(a;b)=1~~}$$

Exemple 1.
La fraction $\dfrac{51}{80}$ est-elle irréductible ? Justifier votre réponse.

Corrigé
1°) Nous allons chercher le PGCD de $51$ et $80$
On utilise la méthode des soustractions successives (un peu longue dans notre cas).
$80 > 51$. Donc :
$80-51=29$
$51-29=22$
$29-22=7$
$22-7=15$
$15-7=8$
$8-7=1$
$7-1=6$ etc jusqu’à $2-1=1$ et $1-1=0$.
Or on sait que, dans la méthode des soustractions successives, le PGCD est égal à la dernière différence non nulle. Par conséquent : $$ \color{brown}{\boxed{~PGCD(80;51)=1~}}$$
Conclusion. Le seul diviseur commun à $80$ et $51$ est égal à $1$. Donc la fraction $\dfrac{51}{80}$ est irréductible.
CQFD.$\blacktriangle$

2. Simplifier une fraction par le PGCD

Propriété 2.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers non nuls. Soit $d=PGCD(a;b)$.
Alors il existe deux nombres entiers non nuls $a’$ et $b’$ premiers entre eux tels que la fraction $\dfrac{a’}{b’}$ soit irréductible et $$\boxed{~~\dfrac{a}{b}=\dfrac{a’}{b’}~~}$$

Corrigé
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers non nuls. Soit $d=PGCD(a;b)$.
$d$ divise $a$, donc il existe un nombre entier $a’$ tel que $a=d\times a’$.
$d$ divise $b$, donc il existe un nombre entier $b’$ tel que $b=d\times b’$.
Alors $a’$ et $b’$ sont premiers entre eux.
Par conséquent, la fraction $\dfrac{a’}{b’}$ soit irréductible et on a :
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{d\!\!{\color{brown}{/}}\times a’}{d\!\!{\color{brown}{/}}\times b’}=\dfrac{a’}{b’}$.
On peut aussi écrire :
$\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div d}{b\div d}=\dfrac{a’}{b’}$.
CQFD.$\blacktriangle$

Définition 2.
Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers non nuls. Soit $d=PGCD(a;b)$.
Alors : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{d\!\!{\color{brown}{/}}\times a’}{d\!\!{\color{brown}{/}}\times b’}=\dfrac{a’}{b’}$.
On peut aussi écrire : $\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div d}{b\div d}=\dfrac{a’}{b’}$.
On dit qu’on a simplifié la fraction $\dfrac{a}{b}$

Exercices résolus

Exemple 2.
La fraction $\dfrac{91}{156}$ est-elle irréductible ? Justifier votre réponse.

Corrigé
1°) Nous allons chercher le PGCD de $156$ et $91$
On utilise la méthode des divisions euclidiennes successives, qu’on appelle aussi l’algorithme d’Euclide.
$156 > 91$. Donc, on effectue la division euclidienne de 156 par 91, on note le reste et on barre le dividende. Puis on recommence. On obtient : $$\begin{array}{|c|l|l|}\hline
\text{Dividende} & \text{diviseur} & \text{reste}\\ \hline
156 \!\!\!\! / & \swarrow 91 & \swarrow 65 \\ \hline
91 \!\!\!\! / & \swarrow 65 & \swarrow 26 \\ \hline
65 \!\!\!\! / & \swarrow 26 & \swarrow \color{brown}{\boxed{~13~}} \\ \hline
26 \!\!\!\! / & \swarrow 13 & \phantom{\swarrow} 0 \\ \hline
\end{array}$$
Or on sait que, dans l’algorithme d’Euclide, le PGCD est égal au dernier reste non nul dans les divisions euclidiennes successives.
Par conséquent : $$ \color{brown}{\boxed{~PGCD(156;91)=13~}}$$ On a alors :
$\dfrac{156}{91}=\dfrac{156\div 13}{91\div 13}=\dfrac{12}{7}$.
Conclusion. On a bien : $\dfrac{156}{91}=\dfrac{12}{7}$ et la fraction $\dfrac{12}{7}$ est irréductible.
CQFD.$\blacktriangle$