1. Fractions décimales et nombres décimaux
Définition 1.
Une fraction décimale est un nombre $N$ qui s’écrit sous la forme d’une fraction dont le dénominateur est une puissance de $10$, c’est-à-dire : $1=10^0$, $10=10^1$, $100=10^2$, …etc. $$\boxed{\;N=\dfrac{a}{10^n}\;}$$
Exemples.
On a donc : $5=\dfrac{5}{1}$ ; $\dfrac{23}{10}$ ; $\dfrac{237}{100}$ ; $\dfrac{385}{1000}$, sont des fractions décimales. Par conséquent :
Propriété 1.
Toutes les fractions décimales sont des nombres décimaux.
Exemples.
On a alors : $\dfrac{123}{100}=\dfrac{123}{10^2}$ est une fraction décimale. Et on a : $\dfrac{123}{100}=1,23$. Donc c’est un nombre décimal.
Et on a : $\dfrac{385}{1000}=\dfrac{385}{10^3}$ est une fraction décimale. Et on a : $\dfrac{385}{1000}=0,385$. Donc c’est un nombre décimal.
Propriété 2.
Tous les nombres décimaux relatifs sont des fractions décimales.
Exemple. $x=2,375\in\D$.
Le nombre $x$ contient trois chiffres après la virgule. On multiplie par $1000$ et on divise par $1000$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2,375\times 1000}{1000}=\dfrac{2375}{10^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=\dfrac{2375}{10^3}\;}$$ qui est une fraction décimale.
Propriété 3.
Plus généralement, toute fraction décimale peut s’écrire sous la forme : $$x=\dfrac{a}{2^p \times 5^q},\quad\text{où}\quad a\in\Z~ \text{et}~p, q\in\N$$
Exemple. $x=2,375$ est un nombre décimal.
On utilise la décomposition précédente, avec $10=2\times 5$. Donc: $10^n=(2\times 5)^n=2^n\times 5^n$. Ce qui donne : $x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}$. Donc :
$$\boxed{\; x=2,375=\dfrac{2375}{2^3\times 5^3}\;}$$
Réciproquement,
Propriété 3bis.
Tout nombre qui s’écrit sous l’une des trois formes : $\dfrac{a}{2^p}$ ou $\dfrac{a}{5^q}$ ou $\dfrac{a}{2^p \times 5^q}$, avec $a\in\Z$ et $p$, $q\in\N$, est une fraction décimale.
Exemples.
$\boxed{\;x=\dfrac{7}{4}\;}=\dfrac{7}{2^2}=\dfrac{7\times5^2}{2^2\times 5^2}=\dfrac{175}{100}=\boxed{\;1,75\;}$ est une fraction décimale.
De même $\boxed{\;y=\dfrac{14}{2^2\times5^3}\; }=\dfrac{2\times14}{2\times2^2\times5^3}=\dfrac{28}{1000}=\boxed{\;0,028\;}$ est une fraction décimale.
2. Nombres décimaux et Notation scientifique
Propriété 4.
Tout nombre décimal $N$ peut s’écrire d’une infinité de manières sous la forme : $N=a\times 10^p$, où $a$ est un nombre décimal relatif et p est un entier relatif.
Propriété 5.
Tout nombre décimal positif $N$ peut s’écrire d’une manière unique sous la forme : $N=a\times 10^p$, où $a$ est un nombre décimal compris entre $1$ et $10$ ($1\leq a < 10$) et $p$ est un entier relatif.
Ceci signifie que $a$ est un nombre décimal ayant exactement un seul chiffre non nul AVANT la virgule.
Définition 3. Soit $N$ un nombre décimal. On appelle notation scientifique de $N$, l’écriture : $$\color{brown}{N=a\times 10^p}$$ où $a$ est un nombre décimal tel que $1\leq a < 10$ et p est un entier relatif.
Exemple 3. Donner la notation scientifique des trois nombres relatifs suivants. $A= 35000$, $B = 0,00385$ et $C=0,0537 \times 10^{12}$.