D’après la propriété de proportionnalité des accroissement des fonctions affines et linéaires, nous pouvons donner une formule pour le calcul du coefficient directeur d’une fonction affine lorsqu’on connaît les images de deux nombres réels distincts ou lorsqu’on connaît les coordonnées de deux points $A$ et $B$ de la droite représentative de cette fonction affine $f$.
1. Formule pour le calcul du coefficient directeur
Propriété 1.
Soit $f$ une fonction affine (ou linéaire) définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. Alors si $x_1$ et $x_2$ sont deux nombres réels distincts et si $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$, alors Le coefficient directeur de la fonction peut être calculé par :
$$\begin{array}{|c|}\hline
m=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\\ \hline
\text{ou}~~~~~m=\dfrac{y_2-y_1}{x_2 – x_1}\\ \hline
~~~m=\dfrac{\text{Accroissement vertical}}{\text{Accroissement horizontal}}~~~\\ \hline\end{array}$$
2. Formule pour le calcul de l’ordonnée à l’origine
Propriété 4bis.
Soit $D$ la droite représentation graphique de cette fonction affine $f$, d’équation $y=mx+p$. Soient $A(x_A;y_A)\in D$ et $B(x_B;y_B)\in D$ et $A\not=B$. Alors l’ordonnée à l’origine $p$ se calcule par l’une des deux formules : $$\begin{array}{|c|}\hline
\phantom{\text{ou}~~}p=y_A-mx_A\\ \hline
\text{ou}~~p=y_B-mx_B\\ \hline \end{array}$$
3. Exercices résolus
Exemple 1.
Déterminer l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que : $f (3) = 3$ et $f(6) =1$.