1. Étude d’une fonction particulière

On considère la fonction définie sur $\R$ et prend ses valeurs dans $\C$ de la manière suivante $f$ : $$ f(\theta)=\cos\theta+\i \sin\theta$$

Théorème 1.
1°) La fonction $f$ vérifie la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle. $$\boxed{~~(\forall\theta_1,\theta_2\in\R) : f(\theta_1+\theta_2)=f(\theta_1)\times f(\theta_2)~~}$$ La fonction $f$ s’écrit : $$\boxed{~~\forall\theta\in\R~~ :~~ f(\theta)=\e^{\i\theta}~~}$$

1°) Soient $\theta_1,\theta_2\in\R$. On a : $$\begin{array}{rl} f(\theta_1+\theta_2)
& =\cos(\theta_1+\theta_2)+\i\sin(\theta_1+\theta_2)\\
& =\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\\
&\phantom{=}+\i{\large[} \sin\theta_1\cos\theta_2+\cos\theta_1\sin\theta_2{\large]}\\
& =\cos\theta_1\cos\theta_2-\sin\theta_1\sin\theta_2\\
&\phantom{=}+\i\sin\theta_1\cos\theta_2+\i\cos\theta_1\sin\theta_2\\
& =\cos\theta_1\cos\theta_2+\i\cos\theta_1\sin\theta_2\\
&\phantom{=}+\i\sin\theta_1\cos\theta_2+\i^2\sin\theta_1\sin\theta_2\\
& =\cos\theta_1{\large[}\cos\theta_2+\i\sin\theta_2{\large]}\\
&\phantom{=}+\i\sin\theta_1{\large[}\cos\theta_2+\i\sin\theta_2{\large]}\\
&=\cos\theta_1\times f(\theta_2)+\i\sin\theta_1\times f(\theta_2)\\
&=(\cos\theta_1+\i\sin\theta_1)\times f(\theta_2)\\
& =f(\theta_1)\times f(\theta_2)\end{array}$$
Par identification, on en déduit que : $$\boxed{~~(\forall\theta_1,\theta_2\in\R)~:~ f(\theta_1+\theta_2)=f(\theta_1)\times f(\theta_2)~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

2°) La fonction $f$ vérifie la relation fonctionnelle de la fonction exponentielle. Donc, il existe un nombre $k$ tel que, pour tout $\theta\in\R$ : $f(\theta)=\e^{k\theta}$, avec $k=f'(0)$.
On calcule $f'(\theta)=-\sin\theta+\i\cos\theta$. Donc $$\boxed{~~k=f'(0)=\i~~}$$
Conséquence : $$\boxed{~~\forall\theta\in\R~~ :~~ f(\theta)=\e^{\i\theta}~~}$$


2. Forme exponentielle d’un nombre complexe

Définition 1.
Pour tout nombre $\theta\in\R$, on note $\e^{\i\theta}=\cos\theta+\i\sin\theta$.
Par conséquent, tout nombre complexe $z$ de module $r$ et d’argument $\theta$ s’écrit sous la forme : $$\boxed{~~z=r\e^{\i\theta}~~[\text{Attention}~:~r\geqslant0~\text{et}~\theta\in\R}]$$
Cette écriture s’appelle la forme exponentielle ou la notation exponentielle du nombre complexe $z$.

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2. Propriétés de la forme exponentielle

D’après le théorème 1, nous pouvons énoncer sous la forme exponentielle, les mêmes propriétés écrites sous la forme trigonométriques :

Théorème 2.
Pour tous nombres $r$, $r_1$, $r_2\in\R^{+*}$ et $\theta$, $\theta_1$ et $\theta_2\in\R$, on a :
$\begin{array}{llr}
(P_0) & \e^{\i 0}=\e^{0}=1& \\
(P_1) & \text{Module : } \abs{\e^{\i\theta}}=1~~\text{argument} =\arg(\e^{\i\theta})=\theta & (1) \\
(P_2) & \text{Conjugué : }\qquad\overline{\e^{\i\theta}}=\e^{-\i\theta} & (2) \\
(P_3) & r_1\e^{\i\theta_1}\times r_2\e^{\i\theta_2}=r_1r_2\e^{\i(\theta_1+\theta_2)} & (3)\\
(P_4) & \dfrac{r_1\e^{\i\theta_1}}{r_2\e^{\i\theta_2}}=\dfrac{r_1}{r_2}\e^{\i(\theta_1-\theta_2)} & (4)\\ \end{array}$

Démonstrations.
Ce sont des conséquences directes du théorème n°1.

3. Corollaires

Corollaire 1. FORMULE DE MOIVRE
Pour tout nombre $\theta\in\R$ et tout entier relatif $n\in\Z$ on a :
$\begin{array}{lcl} (P_5) & (e^{\i\theta})^n=e^{\i n\theta} & (5) \\
(P_{5\text{bis}}) & (\cos\theta+\i\sin\theta)^n=\cos n\theta+\i\sin n\theta & (5bis) \\ \end{array}$

Corollaire 2. FORMULES D’EULER
Pour tout nombre $\theta\in\R$ on a :
$\begin{array}{lcl} (P_6) & \cos\theta=\dfrac{e^{\i\theta}+e^{-\i\theta}}{2} ~~\text{et}~~ \sin\theta=\dfrac{e^{\i\theta}-e^{-\i\theta}}{2\i} & (6)\\ \end{array}$

Corollaire 3. FORMULES TRIGINOMÉTRIQUES
Pour tout nombre réels $a$, $b\in\R$ on a :
Formules d’addition :
$\begin{array}{lcl}
(P_7) & \cos(a+b)=\cos a\cos b-\sin a\sin b & (7) \\
& \sin(a+b) = \sin a\cos b+\cos a\sin b & (7bis) \\ \end{array}$
Formules de duplication :
$\begin{array}{lcl}
(P_8) & \cos(2a)=\cos^2a-\sin^2 a& (8) \\
& \sin(2a) = 2\sin a\cos a & (8bis) \\ \end{array}$
Formules d’utilisation de l’arc-double
$\begin{array}{lcl}
(P_9) & \cos^2(a)=\dfrac{1+\cos2a}{2}& (9) \\
& \sin^2(a) =\dfrac{1-\cos2a}{2}& (9bis) \\ \end{array}$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle du nombre complexe suivant :
$z=1+\i$.

Nous avons besoin de calculer le module et l’argument de $z$.
1°) Module de $z=1+1\i$ :
$\abs{z}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$. donc $\boxed{~~\abs{z}=\sqrt{2}~~}$

2°) Argument de $z=1+1\i$ :
On sait que $\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\\ \sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\end{cases}$
Donc $\boxed{~~\theta=\arg(z)=\dfrac{\pi}{4}~~[2\pi]~~}$
Ce qui permet d’écrire :
$\bullet$ Forme trigonométrique : $$\boxed{~~z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]~~}$$
$\bullet$ Forme exponentielle : $$\boxed{~~z=\sqrt{2}\e^{\i\frac{\pi}{4}}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2. [Problème donnée au BAC].
1°) Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle du nombre complexe suivant :
$z_1=1+\i$ puis $z_2=\sqrt{3}+\i$.
2°) Déterminer les formes trigonométrique et exponentielle du nombre complexe suivant :
$Z=\dfrac{z_1}{z_2}$.
3°) Déterminer l’expression de la forme algébrique de $Z$.
4°) En déduire les valeurs exactes de $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$.

1°) D’après l’exercice précédent, nous savons que : $$ z_1=\sqrt{2}\e^{\i\frac{\pi}{4}}=\sqrt{2}\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right)\right]$$
Nous avons besoin de calculer le module et l’argument de $z_2$.
1°) Module de $z_2=\sqrt{3}+1\i$ :
$\abs{z_2}=\sqrt{\sqrt{3}^2+1^2}=\sqrt{4}=2$. Donc $\boxed{~~\abs{z_2}=2~~}$

2°) Argument de $z_2=\sqrt{3}+1\i$ :
On sait que $\begin{cases}\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}=\dfrac{\sqrt{3}}{2}\\ \sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z}}=\dfrac{1}{2}.\end{cases}$
Donc $\boxed{~~\theta=\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{6}~~[2\pi]~~}$
Ce qui permet d’écrire : $$\boxed{~~z_2=2\e^{\i\frac{\pi}{6}}=2\left[\cos\left(\dfrac{\pi}{6}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{6}\right)\right]~~}$$

2°) Calculons le module et l’argument de $Z=\dfrac{z_1}{z_2}$.
$\bullet$ Module de $Z$ :
$\abs{Z}=\dfrac{\abs{z_1}}{\abs{z_2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$. Donc $\boxed{~~\abs{Z}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}~~}$
$\bullet$ Argument de $Z$.
$\arg(Z)=\arg(z_1)-\arg(z_2)=\dfrac{\pi}{4}-\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi}{12}-\dfrac{2\pi}{12}=\dfrac{\pi}{12}$.
Donc $\boxed{~~\theta=\arg(Z)=\dfrac{\pi}{12}~~[2\pi]~~}$.
On peut écrire maintenant les deux formes exponentielle et trigonométrue de $Z$ : $$ \boxed{~~Z=\dfrac{\sqrt{2}}{2}\e^{\i\frac{\pi}{12}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \left[\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\right]~~}$$

3°) Calculons l’expression de la forme algébrique de $Z$. $$\begin{array}{rl}
Z & = \dfrac{z_1}{z_2}= \dfrac{1+\i}{\sqrt{3}+\i}\\
& = \dfrac{(1+\i)(\sqrt{3}-\i)}{(\sqrt{3}+\i)(\sqrt{3}-\i)}\\
& = \dfrac{\sqrt{3}-\i+\i\sqrt{3}-\i^2}{\sqrt{3}^2+1^2}\\
& = \dfrac{1+\sqrt{3}+\i(-1+\sqrt{3})}{4} \\
Z & = \dfrac{1+\sqrt{3}}{4}+\dfrac{(-1+\sqrt{3})\i}{4} \\
\end{array}$$
On en déduit donc l’expression de la forme algébrique de $Z$ : $$\boxed{~~Z=\dfrac{1+\sqrt{3}}{4}+\dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\i ~~}$$

4°) Finalement, pour déterminer $\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$ et $\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)$, nous allons procéder par identification des parties réelle et imaginaire de $Z$, entre la forme trigonométrique et l’expression de la forme algébrique de $Z$ :
$$\begin{array}{rl}
\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) &=\dfrac{x_Z}{\abs{Z}} =\dfrac{1}{\abs{Z}}\times x_Z\\ &= \dfrac{2}{\sqrt{2}}\times \dfrac{1+\sqrt{3}}{4}\\
&= \dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{(1+\sqrt{3})\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\\ \end{array}$$ De même, on a : $$\begin{array}{rl}
\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) &=\dfrac{y_Z}{\abs{Z}} =\dfrac{1}{\abs{Z}}\times y_Z\\
&= \dfrac{2}{\sqrt{2}}\times \dfrac{-1+\sqrt{3}}{4}\\
&= \dfrac{-1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}} = \dfrac{(-1+\sqrt{3})\times\sqrt{2}}{2\sqrt{2}\times\sqrt{2}} \\
&= \dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\\ \end{array}$$
Conclusion. Les valeurs exctes des cosinus et sinus de $\dfrac{\pi}{12}$ sont : $$\boxed{~~ \begin{cases}\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\
\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) = \dfrac{-\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4} \\ \end{cases}~~}$$
CQFD.$\blacktriangle$

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