Toute fonction linéaire de coefficient $m$ peut correspondre à une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité $k=m$.
Réciproquement, toute situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité $k$ peut être modélisée par une fonction linéaire de coefficient $m=k$.

1. Fonction linéaire

Une fonction linéaire $f$ est une correspondance qui, à tout nombre réel $x$, fait associer un nombre réel $y$, noté $f(x)$ (lire « $f$-de-$x$ ») défini par $y=ax$ ou $f(x)=ax$, où $a$ est un nombre réel fixé.
La grandeur $y$ est donc proportionnelle à la grandeur $x$ avec un coefficient de proportionnalité égal à « $a$ ». $$x~——\boxed{\phantom{\dfrac{|}{|}}\times a~~}\!\!\longrightarrow y=ax$$

Dans l’autre sens, si une grandeur $y$ est proportionnelle à la grandeur $x$ avec un coefficient de proportionnalité égal à « $a\not=0$ », alors la grandeur $x$ est proportionnelle à la grandeur $y$ avec un coefficient de proportionnalité égal à « $\dfrac{1}{a}$ »

Une fonction linéaire $f$ exprime donc une situation de proportionnalité entre deux grandeurs.

2. Proportionnalité

Deux grandeurs non toutes deux nulles sont dites proportionnelles si on peut calculer les valeurs de l’une en multipliant les valeurs de l’autre par un même nombre fixé $k$, appelé coefficient de proportionnalité. Autrement dit, à chaque valeur $x$ de la grandeur 1, on associe la valeur $y=kx$ de la grandeur 2.

Cette situation peut donc être « modélisée » par la fonction linéaire $f$ de coefficient $k$ pour passer de la grandeur 1, à la grandeur 2. $$\begin{array}{rl} f: \R & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto &f(x)=kx\\ \end{array}$$

3. Exercices corrigés

Application 1

Exercice 1.
Au magasin Proxybio, les clients peuvent acheter leur sacs de pommes de terre au prix de 0,90 euros au kilogramme. Dans ce magasin, il n’y a aucun prix de gros ou de réduction pour de grandes quantités.
1°) Calculer le prix de $2$kg, $3$kg, $5$kg, $10$kg et $100$kg.
2°) Modéliser cette situation par une fonction linéaire dont on précisera le coefficient.
3°) Retrouver les résultats de la question 1°.

Corrigé.
1°) Calculer le prix de $2$kg, $3$kg, $5$kg, $10$kg et $100$kg.
Le prix unitaire étant fixe, il s’agit d’une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité $k=0,90$. On peut donc construire un tableau de proportionnalité avec ces valeurs :
$$\boxed{~\times 0,90~}\begin{array}{l}\diagup \\ \searrow \\ \end{array}
\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{masse en kg} &2&3&5&10&100\\ \hline
\text{Prix en €} &1,80&2,70&4,50&9&90\\ \hline \end{array}$$

2°) Modéliser cette situation par une fonction linéaire dont on précisera le coefficient.
Le coefficient de proportionnalité étant égal à $k=0,90$.
Par conséquent, cette situation peut être modélisée par la fonction linéaire $f$ de coefficient $0,90$ définie pour des valeurs $x$ positives (sur $\R^{+}$) par : $$\boxed{\;f(x)=0,90 x\;}$$

3°) On retrouve les valeurs précédentes dans le tableau de valeurs de la fonction linéaire $f$. $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline x &2&3&5&10&100\\ \hline
y=f(x)&1,80&2,70&4,50&9&90\\ \hline \end{array}$$

Application 2

Exercice 2.
Pour la facture d’électricité, M. BELLET possède une maison équipée d’un compteur électrique de $9~$KVA. L’abonnement EDF coûte 12,06 €TTC pour 1 mois.
La consommation électrique est exprimée en KWh et coûte 0,145 € TTC pour 1 KWh.
1°) Calculer le montant de la facture mensuelle que M. BELLET doit payer à EDF pour les consommations suivantes : 0 KWh, 10 KWh, 20 KWh, 50 KWh, 100 KWh, 200 KWh et 500 KWh.
2°) Le montant TTC de la facture mensuelle est-il proportionnel à la consommation électrique de M. BELLET. Justifier votre réponse.
3°) Peut-on modéliser la situation par une fonction linéaire ou affine ? Précisez et justifier votre réponse.

Corrigé

Corrigé.
1°) Calculer le montant de la facture mensuelle que M. BELLET doit payer à EDF pour les consommations suivantes : 0 KWh, 10 KWh, 20 KWh, 50 KWh, 100 KWh, 200 KWh et 500 KWh. $$\text{Montant}=\text{Abonnement}+\text{Conso.}$$
$$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\hline \text{Conso. en KWh}&0 &10 &20 &50 &100 &200 &500 \\ \hline \text{Prix en euros}&12,06 &13,51 &14,96 &19,31 &26,56 &41,06 &84,56 \\ \hline \end{array}$$

2°) Le montant TTC de la facture mensuelle n’est pas proportionnel à la consommation électrique de M. BELLET. En effet :
1ère méthode.
Dans une situation de proportionnalité entre une grandeur $x$ et une grandeur $y$, le $x=0$ correspond à $y=0$.
Or, Si M. BELLET est absent pendant un mois, la consommation $C$ est égale à $0$, mais la facture contient le prix de l’abonnement $A=12,06$ €.
Par conséquent, il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité.

2ème méthode.
Dans une situation de proportionnalité entre une grandeur $x$ et une grandeur $y$, si la valeur de $x$ double, alors la valeur de $y$ double. On peut voir que :
$-$ Pour une consommation $C=10$ KWh, $F=13,51$ €
$-$ Et pour une consommation $C=20$ KWh, $F=14,96\not=2\times13,51$ €.
Par conséquent, il ne s’agit pas d’une situation de proportionnalité.

3°) Pour calculer le montant $M$ la facture pour un mois, on doit d’abord payer le montant $A$ de l’abonnement ajouté au prix $C$ de la consommation de $x$ KWh : $$M=A+C$$ Le prix $C$ de la consommation s’obtient comme suit : $C=0,145\times x$.
Par conséquent le montant $M$ la facture pour une consommation de $x$ KWh en un mois est : $$M=12,06+0,145\times x$$
Conclusion. La situation peut être modélisée par une fonction affine $f$ définie sur $\R^{+}$ par : $$\boxed{\; f(x)=0,145x+12,06\;}$$
Le coefficient de $f$ est : $m=0,145$ et son terme constant : $p=12,06$.
CQFD.$\blacktriangle$