Fonctions dérivées

2.1. Fonction dérivée

Nous venons de définir le nombre dérivé d’une fonction en un point, nous allons maintenant étendre cette notion à tous les points d’un intervalle.

Définition 4.
1°) Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$.
On dit que la fonction $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$ si et seulement si elle est dérivable en tout nombre $x\in I$.
2°) Si $f$ est dérivable sur l’intervalle $I$, alors on définit une nouvelle fonction sur $I$, notée $f’$ qui à tout nombre $x\in I$ fait associer le nombre dérivé $f’(x)$.
La fonction $f’$ s’appelle la fonction dérivée de $f$ sur l’intervalle $I$.

Remarque.

Une fonction $f$ définie sur un domaine $D_f$, n’est pas nécessairement dérivable en tout point de $D_f$. On peut dire donc que le domaine de définition $D_{f’}$ de $f’$, qui est contenu dans $D_f$ n’est pas nécessairement égal à $D_f$. $$\boxed{\;D_{f’}\subset D_{f}\;}$$

On considère la fonction racine carrée $f$ définie par $f(x)=\sqrt{x}$. Son domaine de définition est : $$\color{brown}{\boxed{\;D_{f’}=]0;+\infty[\;}}$$

Or, nous avons vu que cette fonction est dérivable en tout point $x>0$ et $f$ n’est pas dérivable en $0$. Donc $0\in D_{f}$ mais $0\not\in D_{f’}$. Par conséquent : $$\color{brown}{\boxed{\;D_{f’}=]0;+\infty[\;}}$$

2.2. Dérivées des fonctions usuelles

Dans le théorème suivant, nous donnons les expressions des fonctions dérivées des fonctions usuelles. On rappelle que la fonction valeur absolue est définie sur $\R$ par : $f(x)=\abs{x}=\begin{cases} x & \text{si $x > 0$,} \\ -x & \text{sinon} \end{cases}$

Théorème 2. Dérivées des fonctions simples.
Soit $f$ une fonction définie sur $I$, un intervalle de $\R$ et $f’$ sa fonction dérivée sur $I$. On peut résumer les expressions des dérivées des fonctions usuelles dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|l|l|l|l|}\hline
D_{f}&\text{Fonction }f & \text{Fonction dérivée }f’&D_{f’}\\ \hline
\R &f(x)=k,\; k\in\R &f’(x)=0 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x &f’(x)=1 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^2 &f’(x)=2x &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^3 &f’(x)=3x^2 &D_{f’}=\R\\
\R &f(x)=x^n &f’(x)=nx^{n-1} &D_{f’}=\R\\ \hline
[0;+\infty[ &f(x)=\sqrt{x} &f’(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}} &D_{f’}=]0;+\infty[\\ \hline
\R&f(x)=\abs{x}&f’(x)=\begin{cases} 1 & \text{si $x>0$,} \\ -1 & \text{si }x<0\end{cases}&D_{f’}=\R^{*}\\ \hline
\R^{*}&f(x)=\dfrac{1}{x} &f’(x)=-\dfrac{1}{x^2} &D_{f}=\R^{*}\\ \hline
\R^{*}&f(x)=\dfrac{1}{x^n} &f’(x)=-\dfrac{n}{x^{n+1}} &D_{f}=\R^{*}\\ \hline
\end{array}$$

Remarque très importante.

Nous avons déjà vu que la fonction racine carrée n’est pas dérivable en $0$. Donc, son domaine de dérivation est : $D_{f’}=]0;+\infty[$ (le $0$ est exclu !).
La fonction valeur absolue est définie sur $\R$. Sa courbe en « V » admet deux demi-tangentes en $0$ avec des coefficients différents, $-1$ à gauche de $0$ et $1$ à droite de $0$. Donc, la fonction valeur absolue est définie en $0$, pas dérivable en $0$.

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3. Opérations sur les fonctions dérivables
3.1. Fonctions composées

Définition 5.
Soit $I$ un intervalle de $\R$.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. On définit de nouvelles fonctions dites composées à partir de $u$ et $v$.

Exemples. Pour tout $x\in I$ :
1°) La fonction somme $u+v$ est définie sur $I$ par : $(u+v)(x)=u(x)+v(x)$
2°) La fonction $ku$, produit de $u$ par le réel $k$, est définie sur $I$ par : $(ku)(x)=k\times u(x)$.
3°) La fonction produit $uv$ est définie sur $I$ par : $(uv)(x)=u(x) v(x)$.
4°) Si pour tout $x\in I$ : $v(x)\not=0$. Alors, la fonction inverse de $v$ est la fonction $\dfrac{1}{v}$ définie par : $\left(\dfrac{1}{v}\right)(x)=\dfrac{1}{v(x)}$.
5°) La fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ est la fonction définie sur $I$ par :
$\left(\dfrac{u}{v}\right)(x)=\dfrac{u(x)}{v(x)}$.

Exemples.

Exercice résolu n°8.
1°) Si $u(x)=x^2$, alors la fonction produit de $u$ par $5$ est la fonction $f$ définie par : $$ f (x) = 5\times u(x) = 5x^2$$
2°) La fonction $g$ définie par : $g(x)=5x^2+ 3x–7$ est la somme de trois fonctions simples.

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Dérivabilité des fonctions composées

Ce théorème que nous allons utiliser pour calculer les premières dérivées

Théorème 3. (Très important)
1°) Toute fonction polynôme est définie et dérivable sur $\R$, qu’on peut dériver terme à terme avec la formule $$\boxed{\;(ax^n)’=n\times ax^{n-1}\;}$$
2°) Toute fonction composée de fonctions définies et dérivables sur un intervalle, est dérivable sur cet intervalle.

Nous allons appliquer ce théorème à toutes les fonctions composées des fonctions de référence données dans le premier tableau des fonctions usuelles.

Dérivées de fonctions composées

Théorème 4.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. Alors,
1°) La somme $u+v$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(u+v)'(x)=u’ (x)+v'(x)$
2°) En particulier, la fonction $ku$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(ku)'(x) =ku'(x)$
3°) Le produit $uv$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(uv)'(x) =u'(x)v(x)+u(x)v’(x)$
4°) En particulier, la fonction $u^2$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $(u^2)'(x) =2u'(x)u(x)$.
5°) Plus généralement, la fonction $u^n$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$(u^n)'(x) =nu'(x)[u(x)]^{n-1}$$
6°) Si $v(x)\not=0$, pour tout $x\in I$, alors la fonction quotient $\dfrac{u}{v}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\left( \dfrac{u(x)}{v(x)}\right)’ =\dfrac{u’(x)v(x)-u(x)v’(x)}{[v(x)]^2}$$
7°) En particulier, si $v(x)\not=0$, pour tout $x\in I$, alors la fonction inverse $\dfrac{1}{v}$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\left( \dfrac{1}{v(x)} \right)’=-\dfrac{v’(x)}{[v(x)]^2}$$

Théorème 4bis.
Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies et dérivables sur un même intervalle $I$ de $\R$ et $k$ un nombre réel donné. Alors, on peut résumer les dérivées des fonctions composées d’une manière symbolique dans le tableau suivant :
$$\begin{array}{|c|c|}\hline
&\text{Fonction composée} & \text{Fonction dérivée }\\ \hline
1°) &u+v & u’ + v’ \\ \hline
2°) &ku & ku’ \\ \hline
3°) &uv &u’v+uv’ \\ \hline
4°) &u^2 &2u’u \\ \hline
5°) &u^n, n\in\Z &nu’u^{n-1} \\ \hline
6°) &\dfrac{u}{v} & \dfrac{u’v-uv’}{v^2} \\ \hline
7°) &\dfrac{1}{v} & -\dfrac{v’}{v^2} \\ \hline \end{array}$$

Cas particulier très important

Théorème 5.
Soit $I$ un intervalle de $\R$. Soient $m$ et $p$ deux nombres réels tels que pour tout réel $x\in I$, g(x)\in I$. Alors la fonction $f$ définie sur l’intervalle $I$ par $f(x)=g(mx+p)$ est dérivable sur $I$ et pour tout $x\in I$ : $$\boxed{~f'(x)=m\times g'(mx+p)~}$$

Exemple 9.

Exercice résolu n°9.
Calculer la dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=(3x-2)^5$$

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