Fonctions composées et limites

1. Notion de fonction composée

Définition 1.
Soient $f$ et $u$ deux fonctions de la variable réelle.
On appelle fonction composée de $u$ par $f$, la fonction notée « $f\circ u$ », qui à chaque $x$ associe : $$\color{brown}{(f \circ u)(x) = f (u(x))}$$
La notation « $f\circ u$ » se lit « $f$ rond $u$ ».

Domaine de définition de $f\circ u$
La fonction $f\circ u$ est définie pour tout nombre réel $x$ pour lequel
$$\color{brown}{u(x)\text{ existe}\text{ et }u(x)\in D_f}$$
Ce qui équivaut à dire :
$$ \color{brown}{x \in D_{f o u}\Leftrightarrow [x \in D_u\text{ et }u(x) \in D_f]}$$

Exercice résolu n°1.
1°) Déterminer l’expression de la fonction $f\circ u$, avec : $f(x) =2 x^3$ et $u(x) = 5 x+7$.
2°) A-t-on $f\circ u=u\circ f$ ?

Corrigé.
Ici, il n’y a aucune valeur interdite. Donc $D_{f o u}=\R$.
1°) Calcul de l’expression de la fonction $f\circ u$
Pour tout $x\in\R$, on a :
$(f \circ u)(x) = f (u(x)) = f(5 x+7) = 2(5 x+7)^3$
On pourrait utiliser une « variable relai » $X = u(x)$. On a alors :
$X = u(x)$ donc $X=5x+7$ et $f(X) = 2 X^3$ donc :
$$ (f \circ u)(x) = f (u(x)) = f(X) = 2 X^3 = \color{brown}{ 2(5 x+7)^3}$$

2°) A-t-on $(f \circ u)=(u \circ f)$ ?
Dans la question 1°, nous avons calculé l’expression de $(f \circ u)$.
Ce qui donne : $\color{brown}{\boxed{\;(f \circ u)(x) = 2(5 x+7)^3\;}}$.
Si on change l’ordre des fonctions, on obtient :
$$(u \circ f)(x) = u (f(x)) = u(2 x^3) = 5\times (2 x^3) +7 = 10 x^3+7$$
Ce qui donne : $\color{brown}{\boxed{\;(u \circ f)(x) =10 x^3+7\;}}$.
Pour $x=0$, on a : $(f \circ u)(0) =686$ et $(u \circ f)(0) =7$.
On voit bien que ces deux fonctions ne sont pas égales.
Conclusion. Si on change l’ordre des fonctions, on obtient, en général, une fonction composée différente.


Propriété.
La composition des fonctions n’est pas une opération commutative !!


2. Limite d’une fonction composée

Théorème de la limite d’une fonction composée.
Soient $f$ et $u$ deux fonctions de la variable réelle. $a$, $b$ et $c$ désignent des nombres réels ou $-\infty$ ou $+\infty$. Alors :
$$\begin{array}{rll}
\text{Si} &\dlim_{x\to a} u(x) ={\color{blue}{b}} \;\text{et}\; \dlim_{{\color{blue}{x\to b}}} f(x)= c,&\\ &\text{Alors }\;\dlim_{x\to a} f(u(x)) = c& \\
\end{array}$$

On pourrait utiliser notre « variable relai » $X = u(x)$. On a alors :
$X = u(x)$ donc : $(f \circ u)(x) = f(u(x)) = f(X)$ donc :

$$\begin{array}{rll}
\text{Si} &\dlim_{x\to a} u(x) ={\color{blue}{b}} \;\text{et}\; \dlim_{X\to{\color{blue}{b}}} f({\color{blue}{X}}) = c,&\\ &\text{Alors }\;\dlim_{x\to a} (f\circ u)(x)) = c& \\
\end{array}$$

Autrement dit :

Pour calculer la limite d’une fonction composée, il suffit de calculer les limites « au fur et à mesure » en commençant par les limites des expressions « les plus intérieures ».

Exercice résolu n°2.
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+5}}$.
Décomposer la fonction $f$ à l’aide des fonctions de référence données ci-dessous :
Fonction affine $a$ définie par : $a(x)=mx+p$, $m$ et $p$ à préciser.
Fonction carrée $c$ définie par : $c(x)=x^2$.
Fonction inverse $i$ définie par : $i(x)=\dfrac{1}{x}$.
Fonction racine carrée $r$ : $r(x)=\sqrt{x}$.

Corrigé.
Essayons de calculer $f(x)$ et cherchons l’ordre des opérations élémentaires.
$\bullet$ On calcule $x^2 = c(x)$.
Donc, on applique à $x$ la fonction carrée $c$ en premier.
$\bullet$ Puis l’image de $x^2$ par la fonction affine $a$ définie par $a(x)=3x+5$.
Ce qui donne $3x^2+5=a(x^2)=(a\circ c)(x))$.
$\bullet$ On prend ensuite la racine carrée : $\sqrt{3x^2+5}=(r\circ a\circ c)(x)$.
$\bullet$ Enfin, on prend l’inverse : $\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+5}}= (i\circ r\circ a\circ c)(x) = f(x)$.
Conclusion. La fonction $f$ est la composée de quatre fonctions de référence :
$$\color{brown}{\boxed{\;f=i\circ r\circ a\circ c\;}}$$.


Exercice résolu n°3.
On considère la fonction $f$ définie par : $f(x)=\dfrac{1}{\sqrt{3x^2+5}}$.
Décomposer la fonction $f$ de deux manières, à l’aide des deux fonctions uniquement que vous devez définir.

Corrigé.
1ère manière. Essayons d’exprimer $f(x)$ en « langage courant ».
$f(x)$ est égale à l’« inverse » d’une fonction $u$ définie par $u(x)=\sqrt{3x^2+5}$.
Si on appelle $i$ la fonction inverse définie sur $\R^{*}$ par : $i(x)=\dfrac{1}{x}$, on a pour tout $x\in\R$, $u(x)\not=0$ et on a :
$f(x)=$ inverse de $u(x)$. Donc $f(x) = i(u(x)) =(i\circ u)(x)$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;f=(i\circ u)\;}}$

2ème manière. Essayons d’exprimer $f(x)$ en « langage courant ».
$f(x)$ est égale à l’« inverse de la racine carrée » d’une fonction $v$ définie par $v(x)=3x^2+5$.
Si on appelle $h$ la fonction « inverse de la racine carrée » définie par : $h(x)=\dfrac{1}{\sqrt{x}}$, pour tout $x\in\R^{+*}$ :
$f(x)=$ « inverse de la racine carrée » de $v(x)$, avec pour tout $x\in\R$, $v(x)\not=0$
Donc $f(x) = i(u(x)) =(i\circ u)(x)$.
Conclusion. $\color{brown}{\boxed{\;f=(h\circ v)\;}}$


Exercice résolu n°3.
Déterminer la limite de la fonction $h$ définie par $h(x)=\sqrt{2+\dfrac{1}{x^2}}$ lorsque $x$ tend vers $+\infty$. Cette fonction est la composée des deux fonctions $f$ et $u$ définies par :

Corrigé.
Pour calculer la limite d’une fonction composée, il suffit de calculer les limites « au fur et à mesure » en commençant par les limites des expressions « les plus intérieures ».

$u(x)=2+\dfrac{1}{x^2}$ et $f(x)=\sqrt{x}$.
On pose $X = u(x) = 2+\dfrac{1}{x^2}$. On a alors :
$\dlim_{x\to +\infty} u(x) = 2$ et $\dlim_{X\to 2} f(X) = \sqrt{2}$
Donc, par composition des limites, on a :
$$\dlim_{x\to +\infty} (f\circ u)(x)=\sqrt{2}$$
Par conséquent. $\color{brown}{\dlim_{x\to +\infty} h(x)=\sqrt{2}}$