Fonctions de référence
I. Fonctions affines, fonctions linéaires
1.1. Rappels définitions
Définition 1.
Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=mx+p$$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés.
En particulier : Si $p = 0$, alors la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=mx$$ s’appelle une fonction linéaire.
$m$ s’appelle le coefficient de la fonction affine ou linéaire;
$p$ s’appelle le terme constant de la fonction affine ou linéaire.
Exercices 1.
Les fonctions définies ci-dessous sont-elles affines ou linéaires ? Justifier votre réponse.
a) $f(x) = -3x+5$.
b) $g(x)=-\dfrac{2}{5}x$.
c) $h(x)=2x^2+5$.
d) $k(x) =x^2+7x-x(x+2)-3$.
d) $\ell(x)=\dfrac{2}{x}+3$.
1.2. Sens de variation des fonctions affines ou linéaires
Théorème 1.
Soit $f$ une fonction affine ou linéaire, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. Alors :
$\bullet$ Si $m$ est positif, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ ;
$\bullet$ Si $m$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante $\R$ ;
$\bullet$ Si $m=0$, alors la fonction $f$ est constante sur $\R$.
Tableaux de variations suivant le signe de $a$ :



1.3. Représentation graphique
Théorème 2.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. (Si $p=0$, $f$ est linéaire). Alors :
$\bullet$ Dans un repère du plan, la représentation graphique de la fonction $f$ est une droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et qui passe par le point $B(0;p)$, telle que : $$M(x;y)\in D \Longleftrightarrow y=f(x) \Longleftrightarrow y=mx+p$$
Réciproquement,
$\bullet$ Toute droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$, est la représentation graphique
$\quad-$ d’une fonction affine $f$ définie sur $\R$, si $D$ ne passe pas par l’origine $O$.
$\quad-$ d’une fonction linéaire $f$ définie sur $\R$, si $D$ passe par l’origine $O$.
Définition 2.
« $y=mx+p$ » s’appelle l’équation de la droite $D$.
Le coefficient $m$ s’appelle le coefficient directeur de la droite $D$.
Le terme constant $p$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite $D$.
Dans tous les cas, pour toutes les fonctions affines ou linéaires : $$p=f(0)\quad\text{et}\quad B(0;p)\in D$$
Exercices 2.
Construire la représentation graphique des deux fonctions suivantes.
a) $f(x)=2x-3$
b) $g(x)=-\dfrac{3x}{2}$.
c) $h(x)=4$.
1.4) Proportionnalité des accroissements
Théorème 3.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés. Alors si $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels distincts et si $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$, alors :
1°) Les quantités $f(x_2)–f(x_1)$ et $x_2–x_1$ sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient $a$ de la fonction.
2°) Le coefficient directeur de la fonction peut être calculé par :
$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2 – x_1}=\dfrac{\text{Accroissement vertical}}{\text{Accroissement horizontal}}$$
On dit que l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement des abscisses.
Démonstration.
Soient x1 et x2 deux nombres réels quelconques, mais différents. Donc et
$$y_2-y_1=f(x_2)–f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b)=ax_2+b-ax_1-b= a(x_2 – x_1)$$
D’où le résultat.
Exemples 2.
Déterminer graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.
Coefficient directeur $a=\dfrac{3}{2}$. Ordonnée à l’origine $b=1$. Donc : $f(x)=\dfrac{3}{2}x+1$.
Coefficient directeur $a=\dfrac{-2}{1}=-2$. Ordonnée à l’origine $b=3$. Donc : $f(x)=-2x+3$.
Coefficient directeur $a=0$. Ordonnée à l’origine $b=2$. Donc : $f(x)=2$. Donc $f$ est constante.
Exemple 3.
Déterminer l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que : $f (3) = 3$ et $f(6) =1$.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$.
a) Recherche du coefficient directeur $a$ :
On sait que : $f (3) = 3$ et $f(6) =1$. Donc, ici on a : $x_1=3$ et $x_2=6$.
Or, d’après le cours, on sait que :
$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-3}{6-3}=\dfrac{-2}{3}.$$
b) Calcul de l’ordonnée à l’origine $b$.
On remplace $a$ par sa valeur dans l’expression de $f$ pour calculer $b$ :
$f(x)=\dfrac{-2}{3}x+b$. Or, $f(3)=3$. Donc : $\dfrac{-2}{3}x+b=3$.
Donc $- 2 + b=3$. Ce qui donne : $b = 5$.
Conclusion : L’expression de la fonction affine $f$ est : $f(x)=\dfrac{-2}{3}x+5$.
1.5) Étude du signe d’une fonction affine
Soit $f$ une fonction affine non constante, définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$, $a\not=0$.
Nous avons vu, dans le chapitre sur les équations et inéquations, comment étudier le signe d’une expression du premier degré de la forme : $f(x)=ax+b$.
Nous avons utilisé deux méthodes : la méthode algébrique et la méthode graphique.
On cherche d’abord l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. Pour cela, on résout l’équation : $f(x)=0$. On a donc les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& a x+b = 0\\
&\Leftrightarrow& a x+b = 0\\
&\Leftrightarrow& a x = -b\\
&\Leftrightarrow& x=\dfrac{-b}{a}\\
\end{array}$$
On obtient alors une valeur remarquable $x=\dfrac{-b}{a}$ ou encore $x=-\dfrac{b}{a}$. On a donc les tableaux de variations avec une indication des signes de la fonction $f$ :
a > 0 a < 0
x | – + | x | – + | |
f(x) | + 0 – | f(x) | + 0 – |
$\bullet$ Si $a>0$, alors :
Pour tout $x<\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)<0$ et pour tout $x>\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)>0$.
$\bullet$ Si $a<0$, alors :
Pour tout $x<\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)>0$ et pour tout $x>\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)<0$.
Exemple 3.
1°) Donner le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
2°) Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\R$.
3°) Déterminer le signe de $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ sans calculer cette image.
4°) Comparer sans les calculer : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ sans les calculer.
5°) Si $-3\leslant a ←2$, donner le meilleur encadrement de $f(a)$.
Corrigé.
1°) Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$f$ est une fonction affine de coefficient $a=3$, donc $a>0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante.
2°) Signe de la fonction $f$ sur $\R$.
$a=3$, donc $a>0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante, donc elle est négative, nulle, puis positive. De plus :
(ssi)(ssi)(ssi).
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& 3 x-5 = 0\\
&\Leftrightarrow& 3x = 5\\
&\Leftrightarrow& x=\dfrac{5}{3}\\
\end{array}$$
Par conséquent, la valeur remarquable où la fonction $f$ s’annule est $x=\dfrac{5}{3}$. On obtient le tableau de signes :
x | – + |
f (x) | – 0 + |
Par conséquent :
Pour tout $x<\dfrac{5}{3}$ : $f(x)<0$ et pour tout $x>\dfrac{5}{3}$ : $f(x) > 0$.
3°) Signe de $f\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)$ sans calculer cette image.
On sait que $\pi=3,14\ldots$ donc $\dfrac{\pi}{2}=1,57\ldots$ et $\dfrac{5}{3}=1,66\ldots$ Donc, $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5}{3}$.
Or la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.
Donc : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<f\left(\dfrac{5}{3}\right)$. Donc : $$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0$$
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est donc négatif. CQFD
3°) Comparer $f\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ sans les calculer.
On sait que $\pi=3,14\ldots$ donc $\dfrac{\pi}{2}=1,57\ldots$ et $\sqrt{2}=1,41\ldots$. Donc, $\dfrac{\pi}{2}>\sqrt{2}$.
Or la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. Donc : $$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>f\left(\sqrt{2}\right)$$
$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est plus grand que $f\left(\sqrt{2}\right)$. CQFD
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