Fonctions de référence

I. Fonctions affines, fonctions linéaires

1.1. Rappels définitions

Définition 1.
Une fonction affine est une fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=mx+p$$ où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés.
En particulier : Si $p = 0$, alors la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $$f(x)=mx$$ s’appelle une fonction linéaire.
$m$ s’appelle le coefficient de la fonction affine ou linéaire;
$p$ s’appelle le terme constant de la fonction affine ou linéaire.

Exercices 1.
Les fonctions définies ci-dessous sont-elles affines ou linéaires ? Justifier votre réponse.
a) $f(x) = -3x+5$.
b) $g(x)=-\dfrac{2}{5}x$.
c) $h(x)=2x^2+5$.
d) $k(x) =x^2+7x-x(x+2)-3$.
d) $\ell(x)=\dfrac{2}{x}+3$.

a) La fonction $f$ définie par $f(x)=-3x+5$ est une fonction affine de coefficient $m=-3$ et de terme constant $p=5$. Elle n’est pas linéaire, car $p\not=0$.

b) La fonction $g$ définie par $g(x)=-\dfrac{2}{5}x$ est une fonction linéaire de coefficient $m=-\dfrac{2}{5}$. Son terme constant est : $b=0$.

c) La fonction $h$ définie par $h(x)=2x^2+5$ n’est ni affine, ni linéaire car elle contient un terme en $x^2$.

d) A priori, l’expression de la fonction $k$ contient des termes en $x^2$. Commençons par l’écrire sous la forme développée réduite. Pour tout $x\in\R$, on a :
$k(x) =x^2+7x-x(x+2)-3=x^2+7x-x^2-2x+3$. Donc : $k(x)=5x+3$.
La fonction $k$ est bien une fonction affine de coefficient $m=5$ et de terme constant $p=3$. Par contre, elle n’est pas linéaire, car $p\not=0$.

d) La fonction $\ell$ définie par $\ell(x)=\dfrac{2}{x}+3$, peut s’écrire aussi : $$\ell(x)=2\times\dfrac{1}{x}+3$$ Elle n’est ni affine, ni linéaire car elle contient un terme en $\dfrac{1}{x}$.

1.2. Sens de variation des fonctions affines ou linéaires

Théorème 1.
Soit $f$ une fonction affine ou linéaire, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. Alors :
$\bullet$ Si $m$ est positif, alors la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$ ;
$\bullet$ Si $m$ est négatif, alors la fonction $f$ est strictement décroissante $\R$ ;
$\bullet$ Si $m=0$, alors la fonction $f$ est constante sur $\R$.

Rappelons tout d’abord que pour comparer deux nombres réels, on étudie le signe de leur différence.
Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels quelconques. Supposons que $x_2>x_1$. Donc $x_2-x₁>0$. Mais alors :
$$\begin{array}{rcl}
f(x_2)–f(x_1)&=&(mx_2+p)-(mx_1+p)\\
&=&mx_2+p-mx_1-p\\
&=&m(x_2 – x_1)\\
\end{array}$$ Ainsi :

$\bullet$ Si $m>0$, alors : $f(x_2)–f(x_1)>0$. Ce qui donne : $f(x_2)>f(x_1)$.
Les images sont rangées dans le même ordre que les antécédents.
Par conséquent, $f$ est strictement croissante sur $\R$.

$\bullet$ Si $a<0$, alors : $f(x_2)–f(x_1)<0$. Ce qui donne : $f(x_2)<f(x_1)$.
Les images sont rangées dans l’ordre contraire des antécédents.
Par conséquent, $f$ est strictement décroissante sur $\R$.

$\bullet$ Si $a=0$, alors : $f(x) = b$ pour tout $x\in\R$.
Par conséquent, la fonction $f$ est constante $\R$.


Tableaux de variations suivant le signe de $a$ :

Si $a>0$, alors $f$ est strictement croissante sur $\R$
Si $a<0$, alors $f$ est strictement décroissante sur $\R$
Si $a=0$, alors $f$ est constante sur $\R$

1.3. Représentation graphique

Théorème 2.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. (Si $p=0$, $f$ est linéaire). Alors :
$\bullet$ Dans un repère du plan, la représentation graphique de la fonction $f$ est une droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$ et qui passe par le point $B(0;p)$, telle que : $$M(x;y)\in D \Longleftrightarrow y=f(x) \Longleftrightarrow y=mx+p$$
Réciproquement,
$\bullet$ Toute droite $D$ non parallèle à l’axe des ordonnées $(Oy)$, est la représentation graphique
$\quad-$ d’une fonction affine $f$ définie sur $\R$, si $D$ ne passe pas par l’origine $O$.
$\quad-$ d’une fonction linéaire $f$ définie sur $\R$, si $D$ passe par l’origine $O$.

Définition 2.
« $y=mx+p$ » s’appelle l’équation de la droite $D$.
Le coefficient $m$ s’appelle le coefficient directeur de la droite $D$.
Le terme constant $p$ s’appelle l’ordonnée à l’origine de la droite $D$.
Dans tous les cas, pour toutes les fonctions affines ou linéaires : $$p=f(0)\quad\text{et}\quad B(0;p)\in D$$

Exercices 2.
Construire la représentation graphique des deux fonctions suivantes.
a) $f(x)=2x-3$
b) $g(x)=-\dfrac{3x}{2}$.
c) $h(x)=4$.

a) $f(x)=2x-3$
$f$ est une fonction affine de coefficient $m=2$ et de terme constant $p=-3$.
Sa représentation graphique est une droite $D$ d’équation $$y=2x-3$$
Pour tracer une droite, il suffit de connaître les coordonnées de deux points.
$\rightarrow$ Si $x=0$, on sait déjà que : $f(0)=p$ et $B(0;p)\in D$. Donc : $$B(0;-3)\in D$$
On choisit une deuxième valeur de $x$, assez éloignée de $0$.
$\rightarrow$ Si $x=4$, $f(4)=2\times 4-3=5$. Donc le point $A(4;5)\in D$.
On fait un tableau clé :
$$\begin{array}{|r|c|c|}\hline
Points & x & y\\ \hline
A& 4 &5\\ \hline
B&0&-3\\ \hline
\end{array}$$
Il reste maintenant à placer les points et tracer la droite $D$.

b) $g(x)=-\dfrac{3x}{2}=-\dfrac{3}{2}x$.
$g$ est une fonction linéaire de coefficient $m’=-\dfrac{3}{2}$. Son terme constant est nul. $p=0$. Sa représentation graphique est une droite $D’$ qui passe par l’origine $O$ du repère. L’équation de $D’$ est $$y=-\dfrac{3}{2}x$$
Pour tracer une droite $D’$, il suffit de connaître les coordonnées de deux points.
$\rightarrow$ Si $x=0$, on sait déjà que : $0(0)=0$, donc $O(0;0)\in D’$. Donc : $$O(0;0)\in D’$$
On choisit une deuxième valeur de $x$, assez éloignée de $0$.
Le dénominateur est égal à $2$. On choisit $x$ un multiple de $2$. Par exemple
$\rightarrow$ Si $x=2$, $g(2)=-\dfrac{3}{2}\times 2=-3$. Donc le point $$C(2;-3)\in D’$$
On fait un tableau clé avec les coordonnées :
$$\begin{array}{|c|c|c|}\hline
\text{Points} & x & y\\ \hline
O&0&0\\ \hline
C& 2 &-3\\ \hline
\end{array}$$
Il reste maintenant à placer les points et tracer la droite $D’$.

c) $h(x)=4$.
$h$ est une fonction constante, de coefficient $m”=0$. Son terme constant est $p=4$. Sa représentation graphique est une droite $\Delta$, parallèle à l’axe des abscisses (horizontale) et qui passe par le point $E(0;4)$. L’équation de $D’$ est $$y=4$$

D’autre part, la fonction $h$ étant constante, tous les $x$ ont la même image $4$. En particulier : $h(5)=4$. Donc, $\Delta$ passe par le point $F(5;4)$.
Il reste maintenant à placer les points et tracer la droite $\Delta$.

1.4) Proportionnalité des accroissements

Théorème 3.
Soit $f$ une fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$, où $a$ et $b$ sont deux nombres réels donnés. Alors si $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels distincts et si $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$, alors :
1°) Les quantités $f(x_2)–f(x_1)$ et $x_2–x_1$ sont proportionnelles et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient $a$ de la fonction.
2°) Le coefficient directeur de la fonction peut être calculé par :
$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2 – x_1}=\dfrac{\text{Accroissement vertical}}{\text{Accroissement horizontal}}$$

On dit que l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement des abscisses.

Démonstration.

Soient x1 et x2 deux nombres réels quelconques, mais différents. Donc et

$$y_2-y_1=f(x_2)–f(x_1)=(ax_2+b)-(ax_1+b)=ax_2+b-ax_1-b= a(x_2 – x_1)$$

D’où le résultat.

Exemples 2.

Déterminer graphiquement le coefficient directeur et l’ordonnée à l’origine.

Coefficient directeur $a=\dfrac{3}{2}$. Ordonnée à l’origine $b=1$. Donc : $f(x)=\dfrac{3}{2}x+1$.

Coefficient directeur $a=\dfrac{-2}{1}=-2$. Ordonnée à l’origine $b=3$. Donc : $f(x)=-2x+3$.

Coefficient directeur $a=0$. Ordonnée à l’origine $b=2$. Donc : $f(x)=2$. Donc $f$ est constante.

Exemple 3.

Déterminer l’expression algébrique de la fonction affine $f$ telle que : $f (3) = 3$ et $f(6) =1$.

Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$.

a) Recherche du coefficient directeur $a$ :
On sait que : $f (3) = 3$ et $f(6) =1$. Donc, ici on a : $x_1=3$ et $x_2=6$.

Or, d’après le cours, on sait que :
$$a=\dfrac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}=\dfrac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\dfrac{1-3}{6-3}=\dfrac{-2}{3}.$$

b) Calcul de l’ordonnée à l’origine $b$.

On remplace $a$ par sa valeur dans l’expression de $f$ pour calculer $b$ :

$f(x)=\dfrac{-2}{3}x+b$. Or, $f(3)=3$. Donc : $\dfrac{-2}{3}x+b=3$.

Donc $- 2 + b=3$. Ce qui donne : $b = 5$.

Conclusion : L’expression de la fonction affine $f$ est : $f(x)=\dfrac{-2}{3}x+5$.

1.5) Étude du signe d’une fonction affine

Soit $f$ une fonction affine non constante, définie sur $\R$ par : $f(x)=ax+b$, $a\not=0$.

Nous avons vu, dans le chapitre sur les équations et inéquations, comment étudier le signe d’une expression du premier degré de la forme : $f(x)=ax+b$.

Nous avons utilisé deux méthodes : la méthode algébrique et la méthode graphique.

On cherche d’abord l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. Pour cela, on résout l’équation : $f(x)=0$. On a donc les équivalences suivantes :

$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& a x+b = 0\\

&\Leftrightarrow& a x+b = 0\\

&\Leftrightarrow& a x = -b\\

&\Leftrightarrow& x=\dfrac{-b}{a}\\

\end{array}$$

On obtient alors une valeur remarquable $x=\dfrac{-b}{a}$ ou encore $x=-\dfrac{b}{a}$. On a donc les tableaux de variations avec une indication des signes de la fonction $f$ :

a > 0 a < 0

x–  + 
x–  + 
f(x)+ 0 –
f(x)+ 0 –

$\bullet$ Si $a>0$, alors :

Pour tout $x<\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)<0$ et pour tout $x>\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)>0$.

$\bullet$ Si $a<0$, alors :

Pour tout $x<\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)>0$ et pour tout $x>\dfrac{-b}{a}$ : $f(x)<0$.

Exemple 3.

1°) Donner le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.

2°) Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\R$.

3°) Déterminer le signe de $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ sans calculer cette image.

4°) Comparer sans les calculer : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ sans les calculer.

5°) Si $-3\leslant a ←2$, donner le meilleur encadrement de $f(a)$.

Corrigé.

1°) Sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
$f$ est une fonction affine de coefficient $a=3$, donc $a>0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante.

2°) Signe de la fonction $f$ sur $\R$.
$a=3$, donc $a>0$, donc la fonction $f$ est strictement croissante, donc elle est négative, nulle, puis positive. De plus :

(ssi)(ssi)(ssi).
$$\begin{array}{rcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& 3 x-5 = 0\\

&\Leftrightarrow& 3x = 5\\

&\Leftrightarrow& x=\dfrac{5}{3}\\

\end{array}$$

Par conséquent, la valeur remarquable où la fonction $f$ s’annule est $x=\dfrac{5}{3}$. On obtient le tableau de signes :

x–  + 
f (x)– 0 +

Par conséquent :
Pour tout $x<\dfrac{5}{3}$ : $f(x)<0$ et pour tout $x>\dfrac{5}{3}$ : $f(x) > 0$.

3°) Signe de $f\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)$ sans calculer cette image.

On sait que $\pi=3,14\ldots$ donc $\dfrac{\pi}{2}=1,57\ldots$ et $\dfrac{5}{3}=1,66\ldots$ Donc, $\dfrac{\pi}{2}<\dfrac{5}{3}$.

Or la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$.

Donc : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<f\left(\dfrac{5}{3}\right)$. Donc : $$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)<0$$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est donc négatif. CQFD

3°) Comparer $f\left(\dfrac{-\pi}{2}\right)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ sans les calculer.

On sait que $\pi=3,14\ldots$ donc $\dfrac{\pi}{2}=1,57\ldots$ et $\sqrt{2}=1,41\ldots$. Donc, $\dfrac{\pi}{2}>\sqrt{2}$.

Or la fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. Donc : $$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)>f\left(\sqrt{2}\right)$$

$f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ est plus grand que $f\left(\sqrt{2}\right)$. CQFD

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