Dans ce chapitre, nous allons donner les définitions des fonctions affines et des fonctions linéaires et leurs coefficients. Calcul des images et recherche des antécédents d’un réel par une fonction affine ou linéaire.
1. Fonctions affines, fonctions linéaires
Définitions 1.
Soient $m$ et $p$ deux nombres réels fixés. On appelle fonction affine une fonction qui, à tout nombre réel $x$, fait correspondre un nombre réel $y$ par la formule : $y=mx+p$. On écrit : $$\begin{array}{rl} f: \R & \longrightarrow & \R \\ x & \longmapsto &f(x)=mx+p\\ \end{array}$$ Si $p=0$, autrement dit $f(x)=mx$, on dit que $f$ est une fonction linéaire.
On dit que $y=f(x)$ est l’image de $x$ par la fonction affine $f$.
Et si $y=f(x)$, on dit que $x$ est un antécédent de $y$ par la fonction affine $f$.
$m$ s’appelle le coefficient de la fonction affine ou linéaire;
$p$ s’appelle le terme constant de la fonction affine ou linéaire.
Exemples 1.
Les fonctions définies ci-dessous sont-elles affines ou linéaires ? Justifier votre réponse.
a) $f(x) =2x-7$.
b) $g(x)=-5x$.
c) $h(x)=2x^2+5$.
d) $k(x)=-\dfrac{2}{5}x$.
Corrigé.
1°) La fonction $f$ définie par $f(x)=2x-7$ est une fonction affine de coefficient $m=2$ et de terme constant $p=-7$. Elle n’est pas linéaire, car $p=-7\not=0$.
2°) La fonction $g$ définie par $g(x)=-5x$ est une fonction linéaire de coefficient $m=-5$. Son terme constant $p=0$.
3°) La fonction $h$ définie par $f(x)=2x^2+5$ n’est pas une fonction affine, ni une fonction linéaire. Elle contient un terme en $x^2$ de coefficient non nul.
4°) La fonction $k$ définie par $k(x)=-\dfrac{2}{5}x$ est une fonction linéaire de coefficient $m=-\dfrac{2}{5}$. Son terme constant $p=0$.
2. Calcul des images et des antécédents
Il y a deux manières de poser la question sur le calcul de l’image d’un nombre réel $a$ par la fonction affine ou linéaire $f$.
1ère manière : En langage courant.
Question 1. « Calculer l’image de $4$ par la fonction affine $f$ ».
2ème manière : Avec des symboles.
Question 2. « Calculer $f(4)$ ».
Dans les deux cas, répondre à cette question revient à remplacer $x$ par $4$ dans l’expression $f(x)$.
Par contre pour conclure, la réponse doit être conforme à la question.
Réponse 1. « L’image de $4$ par la fonction affine $f$, est égale à $\ldots$ ».
Réponse 2. « $f(4) =\ldots$ ».
2.1. Exemple 2.
Soit $f$ la fonction affine ou linéaire, définie pour tout $x\in\R$ par : $f(x)=5x-12$
1°) Calculer l’image de $4$ par la fonction affine $f$
2°) Calculer $f(4)$.
Corrigé.
1°) Calcul de l’image de $4$ par la fonction affine $f$.
Je remplace $x$ par $4$ dans l’expression $f(x)$.
$f(4)=5\times 4-12=20-12=8$.
Conclusion. L’image de $4$ par la fonction affine $f$, est égale à $8$.
2°) Calcul de $f(4)$.
$f(4)=5\times 4-12=20-12=8$.
Conclusion. $\boxed{\;f(4)=8\;}$.
3. Exercices résolus
Exercices 1.
Les fonctions définies ci-dessous sont-elles affines ou linéaires ? Justifier votre réponse.
a) $f(x) = -3x+5$.
b) $g(x)=-\dfrac{2}{5}x$.
c) $h(x)=2x^2+5$.
d) $k(x) =x^2+7x-x(x+2)-3$.
e) $\ell(x)=\dfrac{2}{x}+3$.
Exercices 2.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=2x+3$.
1°) Calculer $f(1)$ ; $f(-3)$ et $f\left(\dfrac{3}{2}\right)$ par la fonction affine $f$.
2°) Calculer les images de $0$; $-5$ et $f\left(-\dfrac{5}{3}\right)$ par la fonction affine $f$.
3°) Déterminer les antécédents de $7$ et $-2$ par la fonction affine $f$.