Toute fonction linéaire de coefficient $m$ correspond à une situation de proportionnalité de coefficient de proportionnalité $k=m$. Nous verrons que cette propriété n’est pas vraie pour les fonctions affines non linéaires ($p\not=0$). Par contre, les fonctions affines et linéaires ont une propriété de proportionnalité des accroissements que nous donnons ici.
1. Propriétés des fonctions linéaires.
Propriété 1.
Soit $f$ une fonction linéaire, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx$, où $m$ est un nombre réel donné. Alors,
1°) $\boxed{\;f(0)=0\;}$. L’image de $0$ par une fonction linéaire est toujours égale à $0$.
2°) Les images $y$ sont proportionnelles aux antécédents $x$ et le coefficient de proportionnalité est égal à $m$.
Autrement dit, pour tout $x\in\R$ : $$\boxed{\;y=f(x)\Longleftrightarrow y=mx\;}$$ ou encore, pour tout $x\in\R$ : $$\boxed{\;x\not=0\Longrightarrow\dfrac{y}{x}=m\;}$$
2. Propriétés des fonctions affines
Définition 1.
Soit $f$ une fonction affine, définie sur $x\in\R$. Soit $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels distincts et $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$ leurs images respectives.
On appelle accroissement des abscisses entre $x_1$ et $x_2$, la différence notée $\Delta x$ (lire « Delta-$x$ ») et définie par : $$\boxed{\;\Delta x=x_2-x_1\;}$$ D’une manière analogue, on appelle accroissement des ordonnées entre $x_1$ et $x_2$, la différence notée $\Delta y$ et définie par : $$\boxed{\;\Delta y=y_2-y_1=f(x_2)-f(x_1)\;}$$
Exemple 1.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=5x-7$ et soit $x_1=0$ et $x_2=-3$.
1°) Calculer l’accroissement des abscisses : $\Delta x=x_2-x_1$.
2°) Calculer les images $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$.
3°) Calculer l’accroissement des images : $\Delta y=y_2-y_1$.
Propriété 2.
Soit $f$ une fonction affine non linéaire, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m\not=0$ et $p\not=0$ sont des nombres réels non nuls donnés. Alors :
1°) $\boxed{\;f(0)=p\not=0\;}$. L’mage de $0$ par une fonction affine est égale à son terme constant $p$.
2°) Les images $y$ ne sont pas proportionnelles aux abscisses $x$.
Exemple 2.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=5x-7$ et soit $x_1=0$, $x_2=-3$
1°) Calculer les images $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$.
2°) Les images $y$ sont-elles proportionnelles aux abscisses $x$ ? Justifier votre réponse.
3. Proportionnalité des accroissements
Propriété 3.
Soit $f$ une fonction affine (ou linéaire) définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, où $m$ et $p$ sont deux nombres réels donnés. Alors si $x_1$ et $x_2$ sont deux nombres réels distincts et si $y_1=f(x_1)$ et $y_2=f(x_2)$, alors :
1°) Les accroissements des images $f(x_2)–f(x_1)$ et les accroissements $x_2–x_1$ des abscisses, sont proportionnels et le coefficient de proportionnalité est égal au coefficient $m$ de la fonction.
On dit que l’accroissement de la fonction est proportionnel à l’accroissement des abscisses.
Démonstration.
Soient $x_1$ et $x_2$ deux nombres réels quelconques, mais différents. Donc et
$$\begin{array}{rcl} y_2-y_1&=&f(x_2)-f(x_1)\\ &=&(mx_2+p)-(mx_1+p) \\ &=&mx_2+p-mx_1-p\\ &=& m(x_2 – x_1)\end{array}$$ CQFD.$\blacktriangle$
Exemple 3.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $f(x)=5x-7$ et soit $x_1=0$, $x_2=-3$, $x_3=5$
1°) Calculer les accroissements des abscisses : $x_2-x_1$ ; $x_3-x_1$ puis $x_3-x_2$.
2°) Calculer les images $y_1=f(x_1)$ ;$y_2=f(x_2)$ puis $y_3=f(x_3)$.
3°) Calculer les accroissements des images : $y_2-y_1$ ; $y_3-y_1$ puis $y_3-y_2$.
4°) Calculer les quotients des accroissements correspondants.
5°) Que constatez-vous ? Conclure.