Exercice résolu.Taux d’évolution – Indice de base 100

I. Variation absolue. Variation relative

Exercice résolu 1.En 2017, Vincent avait acheté une calculatrice scientifique pour le prix de $P_1=59,90$ euros et un classeur-trieur à $P_2=3,90$ euros. En 2018, la même calculatrice coûtait $P’_1=65,90$ euros et classeur-trieur à $P’_2=5,90$ euros.

  1. Calculer les variations absolues des deux grandeurs. Quelle est le prix qui a le plus augmenté ?
  2. Calculer les coefficients multiplicateurs $k$ et $k’$ qui permettent de passer de $P_1$ à $P’_1$ et de $P_2$ à $P’_2$.
  3. En déduire les taux d’évolution $t$ et $t$ qui permettent de passer de $P_1$ à $P’_1$ et de $P_2$ à $P’_2$.
  4. Calculer le nouveau prix de la calculatrice, comme si elle avait coûté 100 euros, en 2017.
  5. On suppose que la tendance continue (avec la même évolution), calculer le prix de cette calculatrice en 2019.

Corrigé.
1°) Calcul des « variations absolues » des deux prix.
– Le prix de la calculatrice est passé de 59,90 € à 65,90 €.
Donc, si on note $V_{1,abs}$ la variation absolue du prix de la calculatrice, on a :
$$V_{1,abs} = P’_1-P_1 = 65,90-59,90 = 6.$$
Par suite, le prix de la calculatrice a subi une variation absolue de $+6$ €. Il s’agit d’une augmentation absolue de 6 euros.

– D’une manière analogue, le prix du classeur-trieur est passé de 3,90 € à 5,90 €.
Donc, si on note $V_{2,abs}$ la variation absolue du prix du classeur-trieur, on a :
$$V_{2,abs} = P’_2-P_2 = 3,90-5,90 = 2.$$
Par suite, le prix du classeur-trieur a subi une variation absolue de $+2$ €. Il s’agit d’une augmentation absolue de 2 euros.

Il est clair, a priori, que c’est la calculatrice qui a le plus augmenté en variation absolue.

I. Taux d’évolution d’une grandeur

1°) En 2011, Vincent a acheté une calculatrice scientifique pour le prix de 59,90 euros. En 2012, la même calculatrice coûtait 62,90 euros.
Calculer le coefficient multiplicateur k et le taux d’évolution t de y1 = 59,90 à y2 = 62,90.
Calculer le nouveau prix de la calculatrice, si elle avait coûté 100 euros, en 2011. Avec la même évolution, calculer le prix de cette calculatrice en 2013.
2°) Tiphanie a acheté une calculatrice plus performante en 2011 pour 119,90 euros. En 2012, elle coûtait 110,31 euros.
a) Calculer le coefficient multiplicateur k et le taux d’évolution t’ de y’1 = 119,90 à y’2 = 110,31.
b) Calculer le nouveau prix de la calculatrice, si elle avait coûté 100 euros, en 2011.
Avec la même évolution, calculer le prix de cette calculatrice en 2013.

1.2) Rappels de 1ère STMG

  • On considère deux nombres réels strictement positifs y1 et y2. y1 représente la valeur d’une grandeur à une époque 1 et y2 représente la valeur de la même grandeur à une époque 2. Alors le coefficient multiplicateur k de y1 à y2 est défini par :. Ce qui donne ou. On passe de y1 à y2 en multipliant par k.
  • Le taux d’évolution de y1 à y2 est défini par :ou encore :
  • Ce qui donne ou encore.

1.3) Définitions

On considère deux nombres réels strictement positifs y1 et y2. On note k le coefficient multiplicateur et t le taux d’évolution de y1 à y2. On appelle indice simple en base 100 de y2 par rapport à y1 , ou simplement indice de y2 par rapport à y1, le nombre I tel que l’évolution qui fait passer de y1 à y2 fait passer de 100 à I proportionnellement. On obtient le tableau de proportionnalité : y1 100 y2 I Ce qui donne : (1)ou (2).

1.4) Relation entre l’indice et le coefficient multiplicateur

Propriété n°1 : On considère deux nombres réels strictement positifs y1 et y2. On note k le coefficient multiplicateur de y1 à y2 et I l’indice de y2 par rapport à y1 , alors on a les deux relations : (3)ou encore : (4)

Exemple 1 :

Le chiffre d’affaire d’une entreprise est passé de 65 500 € en 2011 à 72 050 € en 2012.

  1. Calculer l’indice d’évolution du chiffre d’affaire.
  2. Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050.
  3. En déduire le taux d’évolution du chiffre d’affaire.

1°) Par définition de l’indice de y2 par rapport à y1, on a :

donc .

2°) Attention, la question 2° dit « Calculer le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 », je dois donc faire un calcul direct. Or, par définition, le coefficient multiplicateur de y1 à y2, on a :

donc .

Si la question était « En déduire le coefficient multiplicateur de 65 500 à 72 050 », il faut calculer k à partir de la formule de I :

donc, . On obtient bien.

3°) Pour « déduire » la valeur du taux d’évolution du chiffre d’affaire, on applique la formule qui relie le taux d’évolution au coefficient multiplicateur de y1 à y2, vue en classe de 1ère STMG.

On sait que k = 1+ t ou encore t = k – 1. Ce qui donne

Conclusion : Lc chiffre d’affaire a subi une augmentation de 10%.

1.5) Relation entre l’indice et le taux d’évolution

Propriété n°2 : On considère deux nombres réels strictement positifs y1 et y2. On note t le taux d’évolution de y1 à y2 et I l’indice de y2 par rapport à y1 , alors on a les deux relations : (5)ou encore : (6) .

Exercices résolus n°1 et 2 p.13 faits en classe.

A faire : Exercices n°2, 4 et 5 p. 20

Exemple 2 :

En 2012, le chiffre d’affaire d’une entreprise a baissé de 15% par rapport à 2011.

1°) Calculer le coefficient multiplicateur du chiffre d’affaire entre 2011 et 2012.

2°) En déduire l’indice d’évolution du chiffre d’affaire pour la même période.

1°) On note y1 et y2 les chiffre d’affaire de l’entreprise en 2011 et 2012 respectivement.

D’après l’énoncé, le taux d’évolution du chiffre d’affaire entre y1 et y2 est :

Donc, le coefficient multiplicateur est donné par :

Conclusion : Le coefficient multiplicateur est :.

2°) Nous avons deux méthodes à notre disposition pour calculer l’indice :

  • soit à partir du taux d’évolution en appliquant la formule (5)
    • soit à partir du taux d’évolution en appliquant la formule (3)

      Conclusion : L’indice d’évolution du chiffre d’affaire est :

      CQFD.

      A faire : Exercices n°6, 7 et 8 p. 20

      2. Racine n-ième d’un nombre réel positif

      2.1) Activité sur Géogebra

      1°) Recherche (du nombre de) des solutions positives des équations : (1),

      (2), (3)puis généralisation.

      Exercices n°14, 15 p.21

      2.2) Théorème et définitions

      Théorème : Soit a un nombre réel positif et n un entier naturel non nul. Alors, l’équation «» admet une unique solution dans l’intervalle. Définition: Cette solution unique se note et s’appelle la racine n-ième de a.

      Remarques :

      1°) Cette solution positive unique se note également :.

      Par défaut : , c’est-à-dire que « la racine 2-ème d’un nombre réel positif a est égale à la racine carrée de a ».

      , c’est-à-dire que « la racine 3-ème d’un nombre réel positif a s’appelle aussi la racine cubique de a ».

      2°) La notationn’est pas exigible au BAC.

      2.3) Exemple

      Résoudre l’équation suivante, dans l’intervalle.

      Dans l’intervalle, cette équation admet une solution unique : qu’on peut calculer à l’aide d’une calculatrice ou d’un tableur :

      Mais attention ! Ne pas oublier les parenthèses ; sinon le résultat serait faux car la puissance est prioritaire par rapport à la division (classe de 5ème).

      Utilisation de la calculatrice





      Utilisation d’un tableur

      2.4) Propriétés

      Pour tout nombre réel positif a et tout entier naturel n, non nul, on a : (P1) : équivaut à . (P2) : . (P2) : .

      Exemples : 1°)donc

      2°)donc

      3. Taux d’évolution global

      3.1) Activité

      Étude d’un exemple

      Le prix d’une calculatrice scientifique a augmenté de 10% de 2010 à 2011, diminué de 5% de 2011 à 2012 et diminué de 10% de 2012 à 2013.

      1°) Calculer le taux d’évolution global T de 2010 à 2013.

      2°) Sachant que la calculatrice coûtait 49,90 € en 2010, calculer son nouveau prix en 2013.

      1°) On calcule d’abord le coefficient multiplicateur pour chaque période :

      t1 = +10% = = 0,1. Donc k1 = 1+t1 = 1,1. De même : k2 = 1+t2 = 0,95 et k3 = 1+t3 = 0,90.

      Le coefficient multiplicateur global (pour la période de 3 ans) est

      .

      Or, K = 1+T. Donc, T = K – 1 = 0,9405 – 1 = – 0,0595 = . Donc T = – 5,95 %.

      Conclusion 1. Le taux d’évolution global de 2010 à 2013 est de – 5,95%.

      2°) Calcul du prix en 2013 :

      P2013 = P2010 x K = 49,90 x 0,9405 = 46,93.

      Conclusion 2. Le nouveau prix de la calculatrice en 2013 est de 46,93 €.

      3.2) Théorème et Définitions

      Soit n un nombre entier naturel, non nul. Soit y0, y1, y2, … , yn–1, yn, des nombres réels strictement positifs et t1, t2, …, tn les n évolutions successives pour passer de y0 à y1, de y1 à y2, … et de yn–1 à yn , respec-tivement. Alors 1°) Le coefficient multiplicateur global de y0 à yn, est donné par : K = 1+T = (1+t1)(1+t2)…(1+tn) 2°) Le taux d’évolution global de y0 à yn, est donné par : T = K – 1 = (1+t1)(1+t2)…(1+tn) – 1.

      4. Taux d’évolution moyen

      4.1) Activité

      Étude d’un exemple

      Vincent a déposé un capital à la Caisse d’Epargne à 3,5% d’intérêts par an.

      1°) Les intérêts étant calculés par mois, calculer le taux d’évolution mensuel moyen tM équivalent.

      2°) Si les intérêts sont calculés par quinzaine, calculer le taux d’évolution moyen par quinzaine tQ équivalent.

      1°) Le taux d’évolution global est : T = +3,5% = +0,035. Un an = 12 mois.

      On cherche un taux d’évolution mensuel tM (le même chaque mois) pour obtenir le même taux d’évolution global. Donc, on aura : (1+tM)12 = 1+T .

      Ce qui donne : (1+tM)12 = 1,035. Donc 1+tM = 1,0351/ 12.

      Par conséquent : tM = 1,0351/12– 1. A la calculatrice, on obtient : tM = + 0,002870899…= 0,287%.

      Conclusion 1. Le taux d’évolution mensuel moyen tM équivalent est égal à + 0,287% par mois.

      2°) Le taux d’évolution global est : T = +3,5% = +0,035. Un an = 24 quinzaines.

      On cherche un taux d’évolution par quinzaine tQ (calculé le 1er et le 16 de chaque mois) pour obtenir le même taux d’évolution global. Donc, on aura : (1+tQ)24 = 1+T .

      Ce qui donne : (1+tQ)24 = 1,035. Donc 1+tM = 1,0351/ 24.

      Par conséquent : tQ = 1,0351/24 – 1. A la calculatrice, on obtient : tQ = + 0,001434421…= 0,143%.

      Conclusion 2. Le taux d’évolution moyen par quinzaine tQ équivalent est égal à + 0,287% par quinzaine.

      4.2) Théorème et Définitions

      Soit n un nombre entier naturel, non nul. Soit y0, y1, y2, … , yn–1, yn, des nombres réels strictement positifs et t1, t2, …, tn les n évolutions successives pour passer de y0 à y1, de y1 à y2, … et de yn–1 à yn , respec-tivement, et de taux d’évolution global T et de coefficient multiplicateur global K. Alors, le taux d’évolution moyen tMdes n périodes de y0 à yn, est donné par : (1+tM)n = 1+T ou (1+tM)n = K. ou encore : tM = (1+T)1/n– 1 ou tM = K1/n– 1.

      Exemple : Le chiffre d’affaire d’une entreprise a augmenté de 15% en 5 ans.

      Calculer le taux d’évolution annuel moyen du C.A. de cette entreprise.

      Le taux d’évolution global est : T = +15% = +0,15.

      On appelle tM le taux d’évolution annuel moyen du CA de cette entreprise.

      D’après le cours, nous savons que :

      (1+tM)5 = 1+T .

      Donc : (1+tM)5 = 1,15.

      Donc : 1+tM = 1,151/5

      Donc : tM = 1,151/5–1

      A la calculatrice, on obtient : tM = 0,028346722… = +2,83%.

      Conclusion : Le taux d’évolution annuel moyen du CA de cette entreprise est de +2,83%.

      Autrement dit : Le chiffre d’affaire de cette entreprise a augmenté de 2,83% par an en 5 ans.