Exemples de grandeurs produits. Grandeurs quotients
1. Grandeurs produits
Propriété 1.
L’aire de toute surface plane ou dans l’espace s’obtient en multipliant deux longueurs par éventuellement un coefficient. Donc l’aire de toute surface plane ou dans l’espace est une grandeur produit.
La somme de deux longueurs (de même unité) est une longueur de même unité.
Le produit d’une longueur par un coefficient $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{3}{4}$ ou $\pi$ (valeurs constantes) ne change rien à la nature de cette grandeur.
Exemples
| Grandeur 1 | Grandeur 2 | Grandeur produit | Exemples d’unités |
|---|---|---|---|
| $L={}$Longueur | $\ell={}$largeur | Aire du rectangle ${\mathcal A}=L\times\ell$ | mm${}^2$ ; cm${}^2$ ; dm${}^2$ ; mm${}^2$ ; km${}^2$ ; etc. |
| $c={}$Longueur du côté du carré | $c={}$Longueur du côté du carré | Aire du carré ${\mathcal A}=c\times c=c^2$ | idem |
| $b={}$Longueur d’une base | $h={}$hauteur associée | Aire parallélogramme ${\mathcal A}=b\times h$ | idem |
| $b={}$Longueur d’une base | $h={}$hauteur associée | Aire du triangle ${\mathcal A}=\dfrac{1}{2}b\times h$ | idem |
| $r={}$Rayon du disque | $r={}$ rayon du disque | Aire du disque ${\mathcal A}=\pi\times r\times r=\pi r^2$ | idem |
| $P={}$Puissance électrique d’un four en W=watt ou kW | $t={}$Durée de fonctionnement en heures | Énergie électrique consommée $E=P\times t$ | J (joules) ou Wh ou kWh |
| $U={}$Tension en volt (V) | $I={}$Intensité électrique en ampère (A) | $P={}$Puissance électrique $P=U\times I$ | W=watt ou kW |
2. Exemples de grandeurs quotients
Propriété 2.
La vitesse moyenne d’un mobile s’écrit comme le quotient de la distance parcourue (en m par exemple) par le temps de parcours (en s par exemple). Donc la vitesse moyenne d’un mobile est une grandeur quotient.
Remarque
L’unité est égale au quotient des deux unités. Ici, la vitesse est exprimée en m/s, lire « mètres par seconde » et no pas « m s » qui correspondrait à une grandeur produit.
A partir de la définition d’une grandeur quotient, par exemple : $$G = \dfrac{g_1}{g_2}\quad(1)$$ On peut calculer $g_1$ et $g_2$, par produit en croix. $$g_1=G\times g_2\quad(2)\quad\text{et}\quad g_2=\dfrac{g_1}{G}\quad(3)$$ Bien sûr en respectant les unités. Sinon, il faut commencer par faire les conversions adéquates.
| Grandeur 1 | Grandeur 2 | Grandeur quotient | Exemples d’unités |
|---|---|---|---|
| $d={}$Distance parcourue | $t={}$Durée du parcours | Vitesse moyenne $$V=\dfrac{d}{t}$$ | km/h ; m/s ; m/h Lire « km par heure » ou encore km h${}^{-1}$ ou m s${}^{-1}$ |
| $H={}$Nombre d’habitants hab | $S={}$Surface de la région en km${}^2$ | $D={}$Densité de population dans la région $$D=\dfrac{H}{S}$$ | hab/km${}^2$ |
| $m={}$Masse d’une substance | $V={}$Volume occupé par la substance en m$^3$ ou en L. 1L = 1 dm${}^3$ | Masse volumique de la substance $$\rho=\dfrac{m}{V}$$ Lire « $\rho={}$rho » | kg/m${}^3$ ; kg/L ; g/L |
| $V={}$Volume d’eau en L ou m${}^3$ | $t={}$Durée d’écoulement de l’eau d’un robinet ou d’un fleuve | Débit d’écoulement d’un robinet ou d’un fleuve $$v=\dfrac{V}{t}$$ | m${}^3$/h ou m${}^3$/s ou L/s |
3. Exercices
Exercice 1.
Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $15$ km/h pendant $30$ km pour monter un col entre sa ville A et la ville B. Il fait ensuite demi-tour pour rentrer chez lui, en descente, à la vitesse moyenne de 30 km/h.
Calculer sa vitesse moyenne sur la totalité de son trajet aller-retour.
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