Exemples de grandeurs produits. Grandeurs quotients

1. Grandeurs produits

Propriété 1.
L’aire de toute surface plane ou dans l’espace s’obtient en multipliant deux longueurs par éventuellement un coefficient. Donc l’aire de toute surface plane ou dans l’espace est une grandeur produit.

La somme de deux longueurs (de même unité) est une longueur de même unité.

Le produit d’une longueur par un coefficient $\dfrac{1}{2}$, $\dfrac{1}{3}$, $\dfrac{3}{4}$ ou $\pi$ (valeurs constantes) ne change rien à la nature de cette grandeur.

Exemples

Grandeur 1Grandeur 2Grandeur produitExemples d’unités
$L={}$Longueur$\ell={}$largeurAire du rectangle
${\mathcal A}=L\times\ell$
mm${}^2$ ; cm${}^2$ ; dm${}^2$ ; mm${}^2$ ; km${}^2$ ; etc.
$c={}$Longueur du côté du carré$c={}$Longueur du côté du carréAire du carré
${\mathcal A}=c\times c=c^2$
idem
$b={}$Longueur
d’une base
$h={}$hauteur associéeAire parallélogramme
${\mathcal A}=b\times h$
idem
$b={}$Longueur
d’une base
$h={}$hauteur associéeAire du triangle
${\mathcal A}=\dfrac{1}{2}b\times h$
idem
$r={}$Rayon
du disque
$r={}$ rayon du disqueAire du disque
${\mathcal A}=\pi\times r\times r=\pi r^2$
idem
$P={}$Puissance électrique
d’un four en
W=watt ou kW
$t={}$Durée de fonctionnement
en heures
Énergie électrique consommée
$E=P\times t$
J (joules) ou Wh ou kWh
$U={}$Tension en volt (V)$I={}$Intensité électrique en ampère (A) $P={}$Puissance électrique $P=U\times I$W=watt ou kW

2. Exemples de grandeurs quotients

Propriété 2.
La vitesse moyenne d’un mobile s’écrit comme le quotient de la distance parcourue (en m par exemple) par le temps de parcours (en s par exemple). Donc la vitesse moyenne d’un mobile est une grandeur quotient.

Remarque

L’unité est égale au quotient des deux unités. Ici, la vitesse est exprimée en m/s, lire « mètres par seconde » et no pas « m s » qui correspondrait à une grandeur produit.

A partir de la définition d’une grandeur quotient, par exemple : $$G = \dfrac{g_1}{g_2}\quad(1)$$ On peut calculer $g_1$ et $g_2$, par produit en croix. $$g_1=G\times g_2\quad(2)\quad\text{et}\quad g_2=\dfrac{g_1}{G}\quad(3)$$ Bien sûr en respectant les unités. Sinon, il faut commencer par faire les conversions adéquates.

Grandeur 1Grandeur 2Grandeur quotientExemples d’unités
$d={}$Distance
parcourue
$t={}$Durée du
parcours
Vitesse moyenne
$$V=\dfrac{d}{t}$$
km/h ; m/s ; m/h
Lire « km par heure »
ou encore
km h${}^{-1}$ ou m s${}^{-1}$
$H={}$Nombre
d’habitants hab
$S={}$Surface
de la région
en km${}^2$
$D={}$Densité
de population
dans la région
$$D=\dfrac{H}{S}$$
hab/km${}^2$
$m={}$Masse
d’une substance
$V={}$Volume
occupé par la substance en m$^3$ ou en L.
1L = 1 dm${}^3$
Masse volumique
de la substance
$$\rho=\dfrac{m}{V}$$
Lire « $\rho={}$rho »
kg/m${}^3$ ; kg/L ; g/L
$V={}$Volume
d’eau en L ou m${}^3$
$t={}$Durée d’écoulement de l’eau d’un robinet ou d’un fleuveDébit d’écoulement d’un robinet ou d’un fleuve
$$v=\dfrac{V}{t}$$
m${}^3$/h ou m${}^3$/s ou L/s

3. Exercices

Exercice 1.
Un cycliste roule à la vitesse moyenne de $15$ km/h pendant $30$ km pour monter un col entre sa ville A et la ville B. Il fait ensuite demi-tour pour rentrer chez lui, en descente, à la vitesse moyenne de 30 km/h.
Calculer sa vitesse moyenne sur la totalité de son trajet aller-retour.

Corrigé.
A = Aller, R=Retour.
A l’aller, $v_A=\dfrac{d_1}{t_1}$. Donc : $15=\dfrac{30}{t_1}$. Donc, $t_1=\dfrac{30}{15}=2~$h. Donc, le cycliste met 2h à l’aller.
Un calcul analogue montre que le cycliste met 1h au retour.
Par conséquent, la durée totale du parcours Aller-Retour est de 3h.
La distance entre la ville A et la ville B est de $30$ km. Donc la distance totale parcourue Aller-Retour est de $30\times2=60$ km.

Finalement, la distance totale parcourue $d=60$ km et la durée totale du parcours est de $t=3$ h. La vitesse moyenne : $$v_m=\dfrac{d}{t}=\dfrac{60}{3}=20.$$
Conclusion. Le cycliste a parcourue la distance Aller-Retour avec une vitesse moyenne de $20$ km/h.

CQFD.$\blacktriangle$



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