Évolution d’une grandeur exprimée en pourcentage

1. Définitions et propriétés

Définition 1.
L’augmentation ou la diminution d’une grandeur pendant une période, ou entre deux dates, s’appelle une évolution. On cherche à déterminer la nouvelle valeur connaissant la valeur initiale et le taux ou pourcentage d’évolution de cette grandeur.

On s’en sert beaucoup pour calculer des variations de grandeurs économiques : PIB (produit intérieur brut), masse salariale, inflation, chômage, investissements ou dépenses publiques.

Propriété 1.
Appliquer une augmentation de t% à une grandeur, revient à la multiplier par $\left(1+ \dfrac{t}{100}\right)$.
Appliquer une diminution de t% à une grandeur, revient à la multiplier par $\left(1- \dfrac{t}{100}\right)$.

Démonstration.

Soient $V_0$ et $V_1$ deux nombres réels strictement positifs. On note $V_0$ la valeur initiale et $V_1$ la valeur finale d’une certaine grandeur $V$. On dit aussi que $V_0$ est la valeur de départ et $V_1$ la valeur d’arrivée. Alors :

$\bullet$ Si on applique une augmentation de t% à $V_0$, on obtient :
$$\begin{array}{lrl}
&V_1 &= V_0 + t\%~~\text{de}~~V_0\\
\text{donc}&V_1 &= V_0+\dfrac{t}{100}\times V_0\\
\text{donc}&V_1 &= 1\times V_0+\dfrac{t}{100}\times V_0\\
\text{donc}&V_1 &= \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times V_0\\
\end{array}$$

Conclusion. Si on applique une augmentation de t% à $V_0$, on obtient : $$\boxed{\;\;V_1 = \left(1+\dfrac{t}{100}\right)\times V_0\;\;}$$

$\bullet$ D’une manière analogue, si on applique une diminution de t% à $V_0$, on obtient : $$\boxed{\;\;V_1 = \left(1-\dfrac{t}{100}\right)\times V_0\;\;}$$

Les nombres $k=\left(1\pm\frac{t}{100}\right)$ s’appellent les coefficients multiplicateurs de $V_0$ à $V_1$.

Exemple

Exercice n°1.
Déterminer le coefficient multiplicateur dans le cas d’une augmentation de 5%, puis dans le cas d’une diminution de 8%.

Corrigé
Une augmentation de 5% revient à multiplier par : $k=1+5\%=1+ \frac{5}{100} =\boxed{\;1,05\;}$
Une diminution de 8% revient à multiplier par : $k’=1-8\%=1- \frac{8}{100} =\boxed{\;0,92\;}$

2. Coefficient multiplicateur

Définition 2.
Soient $V_0$ et $V_1$ les valeurs d’une grandeur à deux dates différentes. Les coefficients $k=\left(1+\frac{t}{100}\right)$ ou $k=\left(1-\frac{t}{100}\right)$ s’appellent les coefficients multiplicateurs qui permettent de passer de $V_0$ à $V_1$. Ce qui donne dans les deux cas : $$\boxed{\;\;V_1 = k\times V_0\;\;}$$

Propriété n°2.
1°) Une augmentation correspond à un coefficient multiplicateur $k>1$ et un taux d’évolution $t>0$.
2°) Une diminution correspond à un coefficient multiplicateur $0<k<1$ et un taux d’évolution $t<0$.

Remarque

Dans certains ouvrages, le coefficient multiplicateur est noté : CM au lieu de $k$.

Propriété n°3.
Soient $V_0$ et $V_1$ les valeurs d’une grandeur à deux dates différentes. Alors, le coefficient multiplicateur qui permet de passer de V 0 à V 1 vérifie les égalités équivalentes suivantes :
Calcul d’une valeur finale : (1) $\boxed{\;\;V_1 = k\times V_0\;\;}$
Calcul d’une valeur initiale : (2) $\boxed{\;\;V_0 = \dfrac{V_1}{k}\;\;}$
Calcul du coefficient multiplicateur : (3) $\boxed{\;\;k = \dfrac{V_1}{V_0}\;\;}$

3. Taux d’évolution et coefficient multiplicateur

Lorsqu’une grandeur subit une évolution pendant une période, ou entre deux dates, avec un taux de de $\pm t\%$, et un coefficient multiplicateur égal à $k$. On peut aussi calculer le taux d’évolution en fonction du coefficient multiplicateur, de la manière suivante : $$\boxed{\;\;k=1\pm t\%=\left(1\pm\frac{t}{100}\right)\;\;}~~\text{et}~~\boxed{\;\;t=(k-1)\times 100\;\;}$$

• Si $k>1$, il s’agit d’une augmentation, donc $t>0$.
• Si $k>1$, il s’agit d’une diminution, donc $t<0$.

Exemple

Exercice n°1.
Déterminer le taux d’évolution du prix d’un produit qui a été multiplié par $k$, dans les deux cas suivants : $k_1=1,25$ et $k_2=0,85$.

Corrigé
1°) $k_1=1,25$. $k_1>1$, donc, il s’agit d’une augmentation. Comme $k_1=1+\frac{t_1}{100}$, alors $k_1-1=\frac{t_1}{100$. Donc $t_1=(k_1-1)\times 100=0,25\times100=+25$.
Donc $k_1=1,25$ correspond à une augmentation de $25\%$.

2°) $k_2=0,85$. $k_2<1$, donc, il s’agit d’une diminution. Comme $k_2=1-\frac{t_2}{100}$, alors $k_1-1=-\frac{t_1}{100$. Donc $t_1=(k_1-1)\times 100=-0,15\times100=-15$.
Donc $k_1=1,25$ correspond à une diminution de $15\%$.

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