1. Étude du signe d’une fonction affine
Soit $f$ une fonction affine non constante, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, $m\not=0$.
Nous avons vu, dans le chapitre sur les équations et inéquations, comment étudier le signe d’une expression du premier degré de la forme : $mx+p$.
Nous avons utilisé deux méthodes : la méthode algébrique et la méthode graphique.
Propriété 1.
Soit $f$ une fonction affine non constante, définie sur $\R$ par : $f(x)=mx+p$, $m\not=0$.
1°) La représentation graphique d’une fonction affine avec $m\not=0$, est une droite oblique. Elle coupe l’axe des abscisses en un seul point d’abscisse : $x=-\dfrac{p}{m}$. Donc : $$\boxed{~~f(x)=0\Longleftrightarrow x=-\dfrac{p}{m}~~}$$
2°) Si $\boxed{~m>0~}$, la fonction $f$ est strictement croissante et passe du négatif au positif. Donc : $$\boxed{~~\begin{array}{l}f(x)<0 \Leftrightarrow x<-\dfrac{p}{m}\\ f(x)>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{p}{m}\\ \end{array}~~}$$
2°) Si $\boxed{~m<0~}$, la fonction $f$ est strictement décroissante et passe du positif au négatif. Donc : $$\boxed{~~\begin{array}{l} f(x)<0 \Leftrightarrow x<-\dfrac{p}{m}\\ f(x)>0 \Leftrightarrow x>-\dfrac{p}{m}\\ \end{array}~~}$$
2. Illustration par un tableau de variation
On cherche d’abord l’abscisse du point où la droite coupe l’axe des abscisses. Pour cela, on résout l’équation : $f(x)=0$. On a donc les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rcrcl}
f(x)=0 &\Leftrightarrow& mx+p &=& 0\\ &\Leftrightarrow& m x+p &=& 0\\
&\Leftrightarrow& m x &=& -p\\ &\Leftrightarrow& x&=&\dfrac{-p}{m}\\ \end{array}$$
On obtient alors une valeur remarquable $x=\dfrac{-p}{m}$ ou encore $x=-\dfrac{p}{m}$. On a donc les tableaux de variations avec une indication des signes de la fonction $f$.
- 1er cas $m>0$ : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. Donc elle passe du négatif au positif et elle s’annule en $x_0=-\dfrac{p}{m}$. Donc : $$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline x & -\infty & &-\dfrac{p}{m} & &+\infty\\ \hline & & – &0& + & \\ \hline
\end{array}$$ - 2ème 1er cas $m>0$ : La fonction $f$ est strictement croissante sur $\R$. Donc elle passe du positif au négatif et elle s’annule en $x_0=-\dfrac{p}{m}$. Donc : $$\begin{array}{|r|ccccc|}\hline x & -\infty & &-\dfrac{p}{m} & &+\infty\\ \hline & & + &0& – & \\ \hline
\end{array}$$
En effet :
- Si $m>0$, alors :
– pour tout $x<-\dfrac{m}{p}$ : $f(x)<0$
– et pour tout $x>-\dfrac{m}{p}$ : $f(x)>0$. - Si $m<0$, alors :
– pour tout $x<-\dfrac{m}{p}$ : $f(x)>0$
– et pour tout $x>-\dfrac{m}{p}$ : $f(x)<0$.
Exemple 1.
Soit $f$ la fonction affine définie sur $\R$ par : $$f(x)=3x-5$$
1°) Donner le sens de variations de la fonction $f$ sur $\R$.
2°) Étudier le signe de la fonction $f$ sur $\R$.
3°) Déterminer le signe de $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ sans calculer cette image.
4°) Comparer sans les calculer : $f\left(\dfrac{\pi}{2}\right)$ et $f\left(\sqrt{2}\right)$ sans les calculer.
5°) Si $-3\leqslant a$, donner le meilleur encadrement de $f(a)$.