Dans toute la suite, on considère une expérience aléatoire et $\Omega$ l’univers (fini) associé, muni d’une probabilité $P$. On se propose de définir la loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle discrète et donner des exemples.
1. Espérance mathématique d’une variable aléatoire discrète
Notations
On pose $X(\Omega)=\{x_1 ; x_2 ; \ldots ; x_n\}$ l’ensemble des valeurs prises par la variable aléatoire $X$. Et on note : « $X=x_k$ » ou $\{X=x_k\}$ l’événement « $X$ prend la valeur $x_k$ » formé de toutes les issues $\omega$ qui réalisent $X(\omega)= x_k$.
En général, on note $p_k= P(X = x_k)$, la probabilité de l’événement « $X = x_k$ ».
Définition 1.
Soit $X$ une variable aléatoire $X$ définie sur un univers fini $\Omega$, prenant les valeurs $x_k$, $1\leqslant k \leqslant n$. On note $p_k$ la probabilité de l’événement « $X=x_k$ », pour tout $k$.
On appelle espérance mathématique de la variable aléatoire $X$ et on note $E(X)$, la moyenne des valeurs prises par $X$, et pondérées par leurs probabilités de réalisation : $$\boxed{~~E(X)= p_1 x_1 + p_2 x_2 +\cdots+p_n x_n~~}$$ qu’on note aussi avec le symbole $\sum$ : $$\boxed{~~E(X)=\dsum_{k=1}^{k=n} p_k x_k~~}$$ Cette expression se lit : « Somme de $k=1$ à $k=n$ des $p_k$ fois $x_k$ ».
Exercice résolu n°1. (type Contrôle)
Soit $X$ une variable aléatoire associée à une expérience aléatoire dont la loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant : $$\begin{array}{|r|c|c|c|c|}\hline
\text{Valeurs }x_k & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
p_k = P(X=x_k ) & \dfrac{1}{4} & \dfrac{1}{8} &\dfrac{1}{2} & \dfrac{1}{8}\\ \hline \end{array}$$
Calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire $X$.
2. Lien avec la moyenne d’une série statistique
Nous allons voir dans l’exercice résolu suivant que l’espérance mathématique correspond exactement à la notion de moyenne arithmétique d’une série statistique.
Exercice résolu n°2.
Voici les notes d’anglais de Vincent au premier trimestre : $8$; $12$; $8$; $12$ et $8$.
1°) Calculer la moyenne de Vincent en anglais au premier trimestre.
2°) On définit la variable aléatoire $X$ qui associe à chaque Contrôle d’anglais, la note/20.
a) Déterminer l’ensemble des valeurs de la variable aléatoire $X$.
b) Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
c) Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire $X$.
3°) Que constatez-vous ? Expliquez dans le cas général.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°3. (type Contrôle)
Une urne contient dix boules indiscernables au toucher réparties comme suit : deux boules vertes, trois blanches et cinq rouges.
On tire au hasard une boule de l’urne. Si la boule est verte, on gagne 5 points, si elle est blanche, on gagne 3 points et si elle est rouge, on perd 4 points. Et on appelle $G$ la variable aléatoire qui associe à chaque issue, « le gain » (algébrique) obtenu.
1°) Déterminer la loi de probabilité
2°) Calculer l’espérance mathématique d’une variable aléatoire $G$.
3°) A votre avis, le jeu est-il « équitable » ? Expliquez.
On calcule toutes les probabilités $p_k= P(X = x_k)$ et on présente (souvent) la loi de probabilité dans un tableau comme suit : $$\begin{array}{|r|c|c|c|c|}\hline
\text{Valeurs }x_k & x_1 & x_2 &\cdots & x_n \\ \hline
p_k = P(X=x_k ) & p_1 & p_2 &\cdots & p_n \\ \hline \end{array}$$
Exercice résolu
L’espérance mathématique de X, notée E(X), désigne la moyenne des valeurs prises par X, et pondérées par leurs probabilités de réalisation : $$E(X)= p_1 x_1 + p_2 x_2 +\cdots+p_n x_n$$
qu’on note aussi avec le signe $\dsum$ = « Somme » : $$E(X)=\dsum_{k=1}^{k=n} p_k x_k$$
La variance de $X$, notée $V(X)$, désigne la moyenne des carrés des écarts à la moyenne de $X$. Autrement dit, en posant $m=E(X)$.
$$V(X)= E\left[(X-E(X))^2\right] =\dsum_{k=1}^{k=n}p_k\left(x_k-m\right)^2$$
En lettres : La variance une variable aléatoire $X$, est égale à « la moyenne des carrés des écarts à la moyenne des valeurs de $X$ ».
La variance est le carré d’une distance donc, c’est un nombre positif ou nul.
Théorème. $V(X)=E\left(X^2\right)-E(X)^2$
ou encore : $V(X)=\left(\dsum_{k=1}^{k=n}p_kx_k^2\right)-m^2$.
La variance V(X) permet de caractériser la dispersion des valeurs xk par rapport à la moyenne E(X).
L’écart-type de X, noté s (lire « sigma ») ou s(X) ou parfois sX , est égal à la racine carrée de la variance : $$\sigma(X)=\sqrt{V(X)}$$ ou $$\sigma^2(X)=V(X)$$
ou simplement : $$\sigma^2=V$$
Comme la variance, l’écart-type permet de caractériser la dispersion des valeurs $x_k$ par rapport à la moyenne $m=E(X)$.
Une différence d’utilisation entre $\sigma$ et $V= \sigma^2$, est que $\sigma$ est de même dimension que les valeurs $x_k$, donc les valeurs $x_k$ peuvent être directement comparées à $\sigma$.