Épreuve de Bernoulli. Loi binomiale

1. Épreuve de Bernoulli

Définition 1.
On appelle épreuve de Bernoulli une expérience aléatoire à deux issues : l’une qu’on appelle $S$ pour « Succès » avec une probabilité $p=P(S)$ ; et l’autre, l’événement contraire noté $\overline{S}$, qu’on appelle « Échec » avec une probabilité $1– p$.
On dit que c’est une « épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ » $p$ = probabilité du succès.

Une épreuve de Bernoulli de paramètre $p$ peut être représentée par un arbre pondéré à deux branches.

2. Loi de Bernoulli

Définition 2.
On définit la variable aléatoire $X$ qui prend la valeur $1$ pour Succès et $0$ pour Échec.
L’événement « Succès » s’écrit : $S$ = « $X=1$ » et l’événement « Succès » s’écrit : $\overline{S}$ = « $X=0$ ».
La variable aléatoire $X$ ainsi définie, donne « le nombre de succès » dans l’expérience. $X$ s’appelle la loi de Bernoulli ${\mathcal B}(1, p)$ de paramètre $p$.

Théorème 1.
La loi de probabilité de la variable aléatoire de Bernoulli $X$ est donnée par : $$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Valeurs}~x_k & 1 & 0 \\ \hline
p_k=P(X=x_k) & p & 1-p \\ \hline
\end{array}$$
L’espérance mathématique de la loi de Bernoulli de paramètre $p$ est donnée par : $$\boxed{~~E(x)=p~~}$$


L’espérance mathématique correspond à la moyenne des valeur $x_i$ de $X$ et est donnée par la formule : $E(X) = p_1x_1+\cdots+p_kx_k$. Donc : $$E(X)=p\times 1+(1-p)\times 0$$ Par conséquent l’espérance mathématique d’une loi de Bernoulli de paramètre $p$ est donnée par : $$\boxed{~~E(x)=p~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

3. Schéma de Bernoulli – Loi binomiale

Définition 3.
Si on répète $n$ épreuves de Bernoulli de paramètre $p$, identiques et indépendantes – c’est-à-dire avec remise. On fait un arbre pondéré et obtient un schéma de Bernoulli.
On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les $n$ épreuves. Alors $X$ suit une Loi binomiale de paramètres $n$ et $p$. On note ${\mathcal B}(n;p)$.

Sur les $n$ épreuves de Bernoulli, on obtient alors : $0$ succès, $1$ succès, $2$ succès, $\ldots$ ou $n$ succès. Donc $X$ prend $(n+1)$ valeurs : $0;1 ; 2 ;\ldots,n$. L’ensemble des valeurs de la variable aléatoire $X$ s’écrit : $$X(\Omega)=\{0;1;2;\ldots, n\}$$

Théorème 2.
1°) La loi de probabilité de la loi binomiale de paramètres $n$ et $p$
$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\text{Valeurs de}~k & 0 & 1 & 2 & \cdots & n \\ \hline
p_k=P(X=k) & P(X=0) & P(X=1) & P(X=2)&\cdots & P(X=0) \\ \hline
\end{array}$$
2°) L’espérance mathématique de la loi Binomiale de paramètres $n$ et $p$, est donnée par : $$\boxed{~~E(x)=np(1-p)~~}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. (Exercice modèle en classe de 1ère).
On considère un vivier (grand aquarium) de $100$ poissons dont $10$ brochets. Avec une épuisette, on prélève un (seul) poisson. On répète trois fois cette épreuve avec remise de façon identique et indépendante. On appelle $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les 3 épreuves.
1°) Montrer que $X$ suit une loi binomiale dont on déterminera les paramètres.
2°) Construire un arbre pondéré illustrant la situation (un schéma de Bernoulli).
3°) Décrire toutes les issues possibles et calculer leurs probabilités.
4°) Donner la loi de probabilité de $X$.
5°) Calculer l’espérance mathématique de $X$.

CQFD.$\blacktriangle$
On définit le succès $S$ = « le poisson prélevé est un brochet ». Ainsi, l’échec= « le poisson prélevé n’est pas un brochet ». On obtient une épreuve de Bernoulli de paramètre p = 0,1.
On recommence 3 fois cette épreuve, dans les mêmes conditions et de façon indépendante – c’est-à-dire avec remise. On appelle X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès sur les 3 épreuves. X suit la loi binomiale de paramètres n = 3 et p = 0,1.
Calculer les probabilités des événements suivants :
1°) E3 = “X=3” = “obtenir 3 succès” ;
2°) E1 = “X=1” = “obtenir 1 succès” ;
3°) E2 = “X=2” = “obtenir 2 succès” ;
4°) E0 = “X=0” = “obtenir 0 succès”.
On construit un arbre pondéré. On obtient un schéma de Bernoulli.

1°) Calculons la probabilité de “X=3” = “obtenir 3 succès”.

Il n’y a qu’un seul chemin correspondant à 3 succès. Donc :

« SSS » = « S1 » et « S2 » et « S3 »

= « obtenir un succès au premier tirage » et « un succès au 2ème tirage »

et « un succès au 3ème tirage ».

Donc :P(X=3) = P(SSS) =donc : P(X=3) = p3 = 1p3(1– p)0

1 = nombre de chemins

p3 = proba de 3 succès

(1–p)0 = probabilité de 0 échecs.

2°) Calculons la probabilité de “X=1” = “obtenir 1 succès”.

Il y a trois chemins correspondant à 1 succès (= 2 échecs). [Le succès peut se positionner en premier, au milieu ou en 3ème position]. Donc :

3= nombre de chemins

p = p1 = proba de 1 succès

(1–p)2 = probabilité de 2 échecs.

3°) Calculons la probabilité de “X=2″= “obtenir 2 succès”.

Il y a aussi trois chemins correspondant à 2 succès (= 1 échec). [L’échec peut se positionner en premier, au milieu ou en 3ème position]. Donc :

Donc :P(X=2) = 3 p2 (1–p).

1 = nombre de chemins

p2 = proba de 2 succès

(1–p) = (1–p)1 = probabilité de 1 échec.

4°) Calculons la probabilité de “X=0” = “obtenir 0 succès”.

Il n’y a qu’un seul chemin correspondant à 0 succès (= 3 échecs).

Donc :P(X=0) = (1– p)3 = 1p0(1– p)3.

1 = nombre de chemins

p0 = proba de 0 succès

(1–p)3 = probabilité de 3 échecs.

Conclusion : P(k succès) = Nombre de cheminspk (1–p)n–k.

Le nombre de chemins qui aboutissent à k succès, se noteet s’appelle le coefficient binomial «k parmi n ». Ce qui donne :

P(“k succès”) = P(X=k) =

On revient à notre exemple. Si n = 3 et p = 0,1, on obtient la loi de probabilité de X :

Valeurs de k0123
pk = P(X = k)0,7290,2430,0270,001

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