Ensembles des nombres entiers

1. Les nombres entiers

Un $\color{blue}{\textit{nombre entier}}$ est un nombre qui n’a pas de partie décimale ou une partie décimale nulle. Un nombre entier sert à dénombrer ou compter des individus ou des objets.

On distingue deux types de nombres entiers.

1.1. Les nombres entiers naturels

Le premier entier naturel est $0$ et tout entier naturel $n$ possède un successeur $n+1$. L’ensemble des nombres entiers naturels est infini et se note $$\color{brown}{ \N = \{ 0, 1, 2, 3, …\} }$$

Le « N » provient du mot « naturel » et les accolades désignent « l’ensemble ». On écrit alors :
$3\in \N$ et on lit « $3$ appartient à $\N$ »
$-2,5 \notin \N$ et on lit « $-2,5$ n’appartient pas à $\N$ »

On note $\N^{*} $, l’ensemble $\N$ privé de 0. Ainsi $0\in\N$ et $0\notin\N^{*}$. $$ \N^{*}= \{1, 2, 3, … \}$$

1.2. Les nombres entiers relatifs

Les nombres entiers relatifs sont : $ …, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … $ dont l’ensemble est noté généralement $$\color{brown}{\Z= \{…,-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, … \} }$$ On note $\Z^{*} $, l’ensemble $\Z$ privé de 0. Ainsi $0\in\Z$ et $0\notin\Z^{*}$. $$\Z^{*} = \{ -3, -2, -1, 1, 2, 3, … \} $$
Le « Z » provient de l’allemand « zahl » qui signifie « nombre ».

On distingue trois types de nombres entiers relatifs :

$\bullet$ Le nombre nul : $0$.

$\bullet$ Les nombres entiers positifs sont composés d’un signe $+$ et d’une distance à zéro, qu’on appelle aussi la valeur absolue. Par exemple : $+5$ est entier positif, situé à 5 unités (à droite) de 0, donc sa valeur absolue : abs($+5$) $=\abs{+5}=5$.
Tous les nombres entiers naturels sont des nombres relatifs positifs. En effet : $5=+5$.

$\bullet$ Les nombres entiers négatifs sont composés d’un signe $-$ et d’une distance à zéro. Par exemple : $-3$ est entier négatif, situé à 3 unités (à gauche) de 0, donc sa valeur absolue est : abs$(-3)=\abs{-3}=3$.

Remarque : Comme pour les parenthèses, les opérations à l’intérieur d’une valeur absolue sont prioritaires. Par exemple : $$-5+\abs{-7+5}=-5+\abs{-2}=-5+2=3$$

2. Représentation graphique

3. Comparer des nombres relatifs

• Si deux nombres relatifs sont tous les deux positifs, alors ils sont rangés dans l’ordre naturel.
• Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, alors le plus grand des deux est le nombre positif.
• Si deux nombres relatifs sont tous les deux négatifs, alors le plus grand des deux est celui qui est le plus proche de $0$, c’est-à-dire celui qui a la plus petite distance à $0$.

4. Distance entre deux points sur la droite graduée

Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite graduée, d’abscisses respectives $x_A$ et $x_B$. Alors la distance entre les deux points $A$ et $B$ est égale à la différence entre la plus grande et la plus petite abscisse.
$\bullet$ Si $x_A>x_B$, alors : dist$(x_A;x_B)=x_A-x_B$.
$\bullet$ Si $x_B>x_A$, alors : dist$(x_A;x_B)=x_B-x_A$.

Exemple.
dist$(2;7)=7-2=5$ et dist$(12;8)=12-8=4$.

Propriété 1.
Soient $A$ et $B$ deux points d’une droite graduée, d’abscisses respectives $x_A$ et $x_B$. Alors la distance entre les deux points $A$ et $B$ est égale à la valeur absolue de leur différence. $$\textrm{dist}(A,B)=AB=\abs{x_B – x_A}$$

Exemple.
dist$(2;7)=\abs{2-7}=\abs{-5}=5$ et dist$(12;8)=\abs{12-8}=\abs{4}=4$.

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