1. Ensemble $\C$ des nombres complexes
Nous allons dans cette partie aborder l’Ensemble $\C$ des nombres complexes, la partie réelle et partie imaginaire de ces nombres, ainsi que le Théorème du produit nul.
Par conséquent, $\C$ constitue une extension algébrique de $\R$. L’ensemble $\C$ contient $\R$ et les opérations algébriques dans $\C$ sont une extension naturelle des opérations dans $\R$.
Définition 1.
Il existe un ensemble, noté $\C$ et appelé ensemble des nombres complexes et vérifie les conditions suivantes :
1°) $\C$ contient tous les nombres réels ;
2°) $\C$ contient un nombre imaginaire, noté $\i$ tel que $\boxed{~~\i^2 = – 1~~}$ ;
3°) $\C$ est muni des mêmes opérations d’addition et de multiplication que dans $\R$ ;
4°) Les règles de calcul sont les mêmes que les règles de calcul dans $\R$.
2. Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition 2.
Tout nombre complexe z s’écrit d’une manière unique sous la forme algébrique :
$$\boxed{~z = a + ib~}$$ où $a$ et $b$ sont des nombres réels : $a\in\R$ et $b\in\R$
$a$ s’appelle la partie réelle de $z$ et se note : $a = \Re(z)$ ;
$b$ s’appelle la partie imaginaire de $z$ et se note : $b = \Im(z)$.
Exemples
- $z_1 = 2+3\i$, alors $\Re(z_1)=2$ et $\Im(z_1)=3$.
- $z_2 = 1+ \i\sqrt{2}$, alors $\Re(z_2)=1$ et $\Im(z_2)=\sqrt{2}$.
- $z_3 = 6$, alors $\Re(z_3)=6$ et $\Im(z_3)=0$. $z_3$ est un nombre réel.
- Sa partie imaginaire est nulle.
- $z_4 = 5\i$, alors $\Re(z)=0$ et $\Im(z)=5$. $z_4$ est imaginaire pur, car sa partie réelle est nulle.
Définition 3.
Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $z=a+\i b$, alors
$\bullet$ Si $\Re(z)=0$ et $z\not=0$, on dit que $z$ est « UN » imaginaire pur.
$\bullet$ Si $\Im(z)=0$, on dit que $z$ est un nombre réel. Donc : $$\boxed{~\R\subset\C~}$$
Le mot « imaginaire » est un adjectif qualificatif. Ici, le mot « imaginaire » accolé au mot « pur » désigne désormais un non commun. L’ensemble des imaginaires purs peut se noter $\i\R$ (excluant $0$) : $$z\in\i\R \Leftrightarrow \Re(z)=0~\text{et}~z\not=0 \Leftrightarrow z=iy,~~y\in\R^{*}$$
2. Premières propriétés
a) Égalité de deux nombres complexes
Théoème 1.
Un nombre complexe est nul si et seulement si sa partie réelle et sa partie imaginaire sont nulles. Autrement dit : Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $a+\i b$, alors : $$\boxed{~~z=0~~\text{(ssi)}~~[a=0~\text{et}~b=0]~~}$$
et par contraposée : $$\boxed{~~z\not=0~~\text{(ssi)}~~[a\not=0~\text{ou}~b\not=0]~~}$$
Théoème 2.
Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si ils ont leurs parties réelles sont égales etleurs parties imaginaires sont égales.
Autrement dit : Soient $z$ et $z’$ deux nombres complexes, alors : $$\boxed{~~z=z’~~\text{(ssi)}~~[a=a’~~\text{et}~~b=b’]~~}$$
Attention ! On rencontre très souvent une mauvaise justification, une erreur sémantique et une faute mathématique : « Deux nombres complexes sont égaux si et seulement si leurs parties réelles et leurs parties imaginaires sont égales ». C’est mal dit et c’est FAUX !
b) Le théorème du produit nul
Comme dans $\R$, le théorème du produit nul est encore valable dans $\C$ :
Théoème 3.
Dans $\C$, un produit de facteurs est nul si et seulement si l’un au moins de ses (ces) facteurs est nul. Pour tous nombres complexes $z$ et $z’$ : $$\boxed{~~zz’=0~~\text{(ssi)}~~[z=0~~\text{ou}~~z’=0]~~}$$
Ce théorème nous permettra de résoudre des équations-produits dans $\C$.
La résolution d’équations produits dans $\C$ se fait exactement de la même manière que dans $\R$.
Nous verrons plus loin les différentes méthodes de résolution des équations du premier degré et les équations produit-nul.
2. Exercices résolus
Exemple résolu n°1. Résoudre dans $\C$ les équations suivantes :
$(E_1)$ : $2z+4-5\i=0$
$(E_2)$ : $(2z+4-5\i)(\i z-2+3i)=0$.