« Encadrer un nombre » c’est trouver deux autres nombres, l’un plus petit et l’autre plus grand que ce nombre.

1. Encadrer un nombre par deux nombres entiers

Définition 1.
Encadrer un nombre par deux nombres entiers, c’est trouver deux autres nombres entiers, l’un plus petit et l’autre plus grand que ce nombre.

Exemple

Exercice 1.
Encadrer le nombre 528 par deux nombres entiers les plus proches.

Corrigé
Il faut trouver le premier nombre entier le plus proche qui soit plus petit que $528$ et le deuxième nombre entier le plus proche qui soit plus grand que $528$.
Il suffit de soustraire une unité et d’ajouter une unité à $528$.
$\bullet$ $528-1=527$ et $527<528$.
$\bullet$ Et $528+1=529$ et $528<529$.
Conclusion. Nous avons donc trouvé un encadrement « à l’unité près » de $528$ : $$\boxed{~~527<528<529~~}$$ $\blacktriangle$

2. Utiliser une droite graduée pour encadrer un nombre

Méthode.
Pour encadrer un nombre par deux nombres entiers, on construit une demi-droite graduée en choisissant une unité convenable. On place le nombre comme abscisse $x_A$ d’un point $A$ et on détermine graphiquement les abscisses $x_B$ et $x_C$ de deux points $B$ et $C$ de part et d’autre du point $A$

Exemple

Exercice 2.
Encadrer le nombre 28 par deux nombres entiers avec le chiffre des unités égal à $0$.

Corrigé
$28$ est compris entre $0$ et $50$. On construit une demi-droite graduée « de 5 en 5 » entre $0$ et $50$.

Droite graduée. Encadrer un nombre par deux nombres entiers les plus proches.

Le point $A$ a pour abscisse $28$. Les deux points $B$ et $C$ ont pour abscisses $x_B=20$ et $x_C=30$, sont situés de part et d’autre du point $A$ et le chiffre des unités de leurs abscisses est égal à $0$. Donc, on a bien : $$\boxed{~~20<28<30~~}$$ $\blacktriangle$

3. Exercices corrigés

Exercice 3.
Encadrer le nombre 528 par deux nombres entiers avec le chiffre des unités égal à $0$.

Corrigé
$\bullet$ Il faut trouver un premier nombre entier plus petit que $528$ et se terminant par $0$ ; et un deuxième nombre entier plus grand que $528$ et se terminant par $0$.
$500<528$ et $528<550$.
Conclusion. Nous avons donc trouvé un encadrement : $$\boxed{~~500<528<550~~}$$

Remarque
Il n’y a qu’une seule condition sur le choix des nombres de l’encadrement ! « Le chiffre des unités égal à $0$ ». On aurait pu choisir d’autres nombres répondant à la question. Par exemple : $$\begin{array}{l} 500<528<600\\ 510<528<570\\ 430<528<890\\ \text{etc.}\end{array}$$ $\blacktriangle$

Exercice 4.
Encadrer le nombre 528 par deux nombres entiers les plus proches, avec le chiffre des unités égal à $0$.

Corrigé
Cette fois, nous avons deux conditions sur les nombres de l’encadrement.
$\bullet$ Il faut trouver le nombre entier se terminant par $0$ le plus proche qui soit plus petit que $528$ ; et le deuxième nombre entier se terminant par $0$, le plus proche qui soit plus grand que $528$ et se terminant par $0$.
$\bullet$ $520<528$ et $520$ est le nombre entier se terminant par $0$ le plus proche qui soit plus petit que $528$. Je note : $520<528$.
$\bullet$ $530>528$ et $530$ est le nombre entier se terminant par $0$ le plus proche qui soit plus grand que $528$. Je note : $528<530$.
Conclusion. Nous avons donc trouvé un encadrement de $528$ par les nombres entiers les plus proches, avec le chiffre des unités égal à $0$ : $$\boxed{~~520<528<530~~}$$ $\blacktriangle$

Exercice 5.
En utilisant la méthode de votre choix, encadrer le nombre 379 par deux nombres entiers les plus proches, avec le chiffre des unités égal à $0$.

Corrigé
1ère méthode. Troncature à la dizaine :
– Je remplace le chiffre des unités par $0$. On obtient : $370$. Et on a : $370 <379$.
– J’ajoute $10$ pour trouver le nombre entier le plus proche au-dessus de $379$, avec le chiffre des unités égal à $0$ : $380$. Et on a : $379 < 380$.
En conclusion. Un encadrement de 379 par les deux nombres entiers les plus proches, avec le chiffre des unités égal à $0$, est : $$\boxed{370<379<380\;}$$
2ème méthode. Sur une droite graduée :
Déjà, pour placer le nombre sur une droite, on doit chercher une unité intéressante.
– On ne peut pas choisir 1cm = 100 unités.
– Mais choisir 1cm = 10 unités, permettrait de mieux placer le nombre $379$ entre $370$ et $380$. On obtient alors : $$\boxed{370<379<380\;}$$ $\blacktriangle$