1. Définitions et méthode

La liste des « carrés parfaits » est la liste des carrés des nombres entiers naturels :
$0^2$ ; $1^2$ ; $2^2$ ; $3^2$ ; $4^2$ ; $5^2$ ; $6^2$ ; $7^2$ ; $8^2$ ; $9^2$ ; $10^2$ ; $11^2$ ; $12^2$ ;$\ldots$ etc. Ce qui donne :

Définition 1.
La liste des entiers « carrés parfaits » est la suivante : $$0~;~1~;~4~;~9~;~16~; ~25~;~36~; ~49~;~64~;~81~;~100~;~121~;~144~;\ldots~\text{etc.}$$

Définition 2.
Encadrer la racine carrée d’un nombre positif entre deux entiers signifie trouver deux entiers consécutifs entre lesquels se situe cette racine carrée.

Méthode :

  1. Soit $a$ un nombre positif.
  2. Trouver deux entiers $n$ et $n+1$ tels que : $n^2\leqslant a<(n+1)^2$.
  3. Alors : $n \leqslant \sqrt{a} < n+1$

Exemple :

Encadrons $\sqrt{20}$.

  • $4^2=16$ et $5^2 = 25$. Et on a : $16\leqslant\sqrt{20}<25$.
  • Comme: $4^2\leqslant 20<5^2$, on a alors : $$\boxed{~4 \leqslant \sqrt{20} < 5~}$$

Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Déterminer un encadrement de $\sqrt{60}$ par deux entiers consécutifs.

Encadrons $\sqrt{60}$.
Comme: $7^2\leqslant 60<8^2$, on a alors : $$\boxed{~7 \leqslant \sqrt{60} < 8~}$$

Exercice résolu n°1.
Déterminer un encadrement de $\sqrt{135}$ par deux entiers consécutifs.

Encadrons $\sqrt{135}$.
Comme: $11^2\leqslant 135<12^2$, on a alors : $$\boxed{~11 \leqslant \sqrt{60} < 12~}$$