1. Proposition logique et notion de prédicat

1.1. Proposition logique

Définition 1.
Une proposition logique ou une assertion est un énoncé comportant ou non des variables, écrit sous la forme d’une phrase avec ou non des symboles mathématiques, auquel on peut, sans ambiguïté, attribuer une des deux valeurs de vérité : Vrai ou Faux.
Les propositions logiques sont notées généralement $P$, $Q$, $R$,$\ldots$, $P_1$, $P_2$, $P_3$,$\ldots$

Exemples

  • $P$ : « 2 est supérieur à 3 » est une proposition fausse.
  • $Q$ : « Il existe au moins un réel $x$ tel que : « $x^2\leqslant5$ », est une proposition vraie.
  • La phrase « Cette affirmation est fausse » n’est ni vraie, ni fausse, elle n’est donc pas une proposition logique.

1.2. Notion de prédicat

Définition 2.
Un énoncé mathématique $P$ contenant ou dépendant d’une variable $x$ ou de deux ou plusieurs variables $x$, $y$, $z$,$\ldots$ s’appelle un prédicat. On le note généralement $P(x)$ ou $P(x;y){}$ ou $P(x;y;z)$.

Un prédicat correspond en général au verbe principal et tous les éléments qui en dépendent dans une phrase. (Wikipedia.org).

Dans un énoncé, un prédicat correspond à l’attribut $P$ (c’est-à-dire la propriété) d’un objet ou un élément $x$ pris dans un domaine d’application ou un ensemble d’interprétation de $x$. Par exemple $x\in\N,$ $x\in\R,\ldots$

Exemple
On considère l’énoncé $P(x)$ : « $3x-5=4$ ». On ne peut pas statuer sur la valeur de vérité de $P(x)$. Celle-ci dépend de la valeur de $x$. Donc, $P(x)$ n’est pas une proposition logique au sens de la définition 1. Nous allons tester pour certaines valeurs :

  1. Pour $x=0$, $P(0)$ s’écrit « $3\times0-5=4$ », c’est-à-dire « $-5=4$ », est une proposition logique fausse. De même pour $x=2$,$\ldots$
  2. Pour $x=3$, $P(3)$ s’écrit « $3\times3-5=4$ », c’est-à-dire « $4=4$ », est une proposition logique vraie.

En général, $P(x)$ n’est pas forcément une proposition logique, car on ne peut pas statuer sur sa valeur de vérité dans l’absolu. La vérité de $P$ dépend de la valeur de la variable $x$ et du domaine d’application ou un ensemble d’interprétation de $x$.

2. Les quantificateurs

Soit $P$ un énoncé mathématique contenant ou dépendant d’une variable $x$. Il est donc naturel de se poser la question « L’énoncé $P(x)$ est-il vrai [ou faux] pour une valeur de $x$, ou pour quelques valeurs de $x$, ou bien pour toutes les valeurs de $x$ dans un ensemble $E$ ». On dit que l’on a quantifié la proposition $P$.

Citation.
« A tous les niveaux de notre enseignement, tout énoncé mathématique doit être quantifié ». Pierre MICHALAK, Inspecteur de mathématiques, Académie de Versailles.

Exemple

Lorsque nous disons à des élèves de 6ème que « $a +b = b+a$ », nous ne savons pas de quoi on parle, ni pour quel type de valeurs de $a$ et $b$, ni si l’égalité est vraie pour quelques nombres ou pour tous les nombres (utilisés à ce niveau). Par exemple, il faudrait corriger l’énoncé en disant :

[Pour tous les nombres décimaux $a$ et $b$, on a : $a+b=b+a]

Cet énoncé devient une proposition logique vraie !

2.1. Quantificateur universel

Définition 3.
Soit $P$ un énoncé mathématique dépendant d’une variable $x$, dans un ensemble $E$. L’expression « pour tout » ou « quel que soit », notée « $\forall$ », s’appelle un quantificateur universel, et s’applique à une ou plusieurs variables parcourant un ensemble $E$. On écrit : $$\boxed{~~(\forall x\in E) : P(x)~~}$$ Lire : « Pour tout $x$ appartenant à l’ensemble $E$, la proposition $P(x)$ est vraie » ; ou encore : « Quel que soit $x$ appartenant à l’ensemble $E$, la proposition $P(x)$ est vraie ».

Exemple

Une proposition logique vraie : $\forall x\in\R : x^2\geqslant0$.

2.2. Quantificateur existentiel

Définition 4.
Soient $P$ un énoncé mathématique dépendant d’une variable $x$, dans un ensemble $E$. L’expression « il existe au moins un » notée « $\exists$ », s’appelle un quantificateur existentiel, et s’applique à une ou plusieurs variables parcourant un ensemble $E$. On écrit : $$\boxed{~~(\exists x\in E) : P(x)~~}$$ Lire : « il existe au moins un $x$ appartenant à l’ensemble $E$, pour lequel la proposition $P(x)$ est vraie ». Le symbole « $\exists !$ » signifie « il existe un et un seul » ou « il existe un unique ».

Exemples

  • Une proposition logique vraie : $\exists x\in\R : x^2\leqslant2$.
  • Une proposition logique fausse : $\exists x\in\R : x^2=-1$.
  • Une proposition logique vraie : $(\forall x\in\R*)(\exists! x’\in\R* : xx’=1$.
    Pour tout nombre réel non nul $x$, il existe un unique réel non nul $x’$ tel que $xx’=1$. Le nombre $x’$ est l’inverse de $x$ et il est unique : $$\boxed{~~x’=x^{-1}=\dfrac{1}{x}~~}$$

Remarque

Ainsi, un prédicat accompagné de quantificateurs portant sur toutes ses variables dans un ensemble $E$, devient automatiquement une proposition logique. On peut donc statuer s’il est vrai ou faux.

2.3. Succession de quantificateurs

Remarque importante
Attention à l’ordre des quantificateurs ! Si on change l’ordre des quantificateurs dans une proposition logique, le sens de l’énoncé risque de changer.

  1. L’énoncé « Pour tout nombre réel $x$ et pour tout nombre réel $y$, $x$ est supérieur ou égal à $y$ ou $y$ est supérieur ou égal à $x$ » s’écrit avec les symboles :
    $$P_1:~~(\forall x\in\R)~(\forall y\in\R)~:~[x \geqslant y~\text{ou}~y\geqslant x]$$ et $$P_2:~~(\forall y\in\R)~(\forall x\in\R)~:~[x \geqslant y~\text{ou}~y\geqslant x]$$
    Ces deux propositions sont parfaitement équivalentes. Il est clair que, ici, l’ordre des quantificateurs n’a aucune importance !
  2. L’énoncé « Pour tout nombre réel $x$, il existe un réel $y$, égal au carré de $x$ » s’écrit avec les symboles : $$P_3:~~(\forall x\in\R)(\exists y\in\R)~~[ y=x^2]$$ Cet énoncé est une proposition vraie. Pour tout choix d’un réel $x$, on peut calculer son carré, $y=x^2$, donc la valeur de $y$ dépend du choix de $x$.
  3. L’énoncé « Il existe un réel $y$ tel que pour tout nombre réel $x$, $y$ est égal au carré de $x$ » s’écrit avec les symboles : $$P_4:~~(\exists y\in\R)(\forall x\in\R)~~[ y=x^2]$$ Cet énoncé est une proposition fausse. Il signifie qu’il existe au moins un réel $y$, tel que pour tout nombre réel $x$ : $[y=x^2]$. Un seul nombre $y$ égal au carré de tous les nombres réels $x$. Ceci signifie que $y$ est indépendant du choix de $x$. Par exemple : $y=1^2$ et $y=2^2$. Ce qui implique que $1=4$. Ce qui est absurde.

3. Négation d’une proposition avec des quantificateurs

Négation de $\forall$
La négation de la proposition logique « $(\forall x\in E)$ : [$~P(x)~$] » est : $(\exists x\in E)$ : [$~$non $P(x)~$].

Exemple
La négation de la proposition logique « $(\forall x\in\R)$ : [$~x^2\geqslant0~$] » est : $(\exists x\in\R)$ : [$x^2<0$].

Négation de $\exists$
La négation de la proposition logique « $(\exists x\in E)$ : [$~P(x)~$] » est : $(\forall x\in E)$ : [$~$non $P(x)~$].

Exemple
La négation de la proposition logique « $(\exists x\in\N)$ : [$~3x+5=0~$] » est : $(\forall x\in\N)$ : [$3x+5\not=0$].

Négation d’une succession de quantificateurs
1°) La négation de la proposition logique « $(\exists x\in E)$ $(\forall y\in F)$ : [$~P(x,y)~$] » est : $(\forall x\in E)$ $(\exists y\in F)$ : [$~$non $P(x,y)~$].

2°) La négation de la proposition logique « $(\forall x\in E)$ $(\exists y\in F)$ : [$~P(x,y)~$] » est : $(\exists x\in E)$ $(\forall y\in F)$ : [$~$non $P(x,y)~$].

4. Exercices résolus

4.1. Démontrer une affirmation

Exercice résolu n°1.
1°) La proposition logique $P$ : « $(\exists x\in\R)$ [$x^2+1=0$] » est-elle vraie ou fausse. Démontrez votre affirmation.
2°) Déterminer la proposition non$~P$, la négation de la proposition logique $P$.

Point méthode 1.
Pour démontrer une proposition logique qui commence par « $\exists x\in E$ » ou « Il existe $x\in E$ », 1°) on suppose qu’un $x\in E$ existe et on cherche quelle est sa forme. 2°) Puis on démontre que le $x$ écrit sous cette forme satisfait la propriété. 3°) Si on doit démontrer que « il existe un unique $x\in E$ », on suppose qu’il en existe un deuxième $x’\in E$ vérifiant la même propriété et on démontre que $x=x’$.

Corrigé.
1°) La proposition logique $P$ : « $(\exists x\in\R)$ [$x^2+1=0$] » est fausse.
On fait un raisonnement par l’absurde.
Supposons qu’il existe un réel $x\in\R$ tel que $$x^2+1=0$$ En ajoutant $-1$ aux deux membres de cette égalité, nous obtenons : $$ x^2+1-1=0-1$$ Ce qui donne : $$x^2=-1$$
Ce qui est absurde, car dans l’ensemble des nombres réels, un carré est toujours positif ou nul.
Par conséquent, il n’existe aucun réel $x$ tel que $x^2=-1$.

Conclusion. La proposition logique $P$ est fausse.

2°) $P$ est la proposition logique : « $(\exists x\in\R)$ [$x^2+1=0$] ». Sa négation $\textbf{non}~P$ est la proposition logique : $$\textbf{non}~P~:~~(\forall x\in\R)~[~x^2+1\not=0~]$$

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4.2. Reformulation d’une proposition logique

Exercice résolu n°2. On considère la proposition logique $P$ : $(\forall y\in\R)(\exists x\in\R)$ tel que $\left[y=\dfrac{2x+3}{x+1}\right]$.
1°) La proposition logique $P$ est-elle vraie ou fausse. Démontrez votre affirmation.
2°) Récrire la proposition $P$ pour qu’elle soit vraie.
3°) En déduire la proposition non$~P$, négation de la proposition logique $P$ du 1°).

Point méthode 2.
Pour démontrer une proposition logique qui commence par « $\forall x\in E$ » ou « Pour tout $x\in E$ », 1°) on se donne un $x$ appartenant à $E$ en disant : « Soit $x\in E$ ». Désormais ce $x$ est fixé pour le reste de la démonstration. 2°) On attaque la propriété…comme suit :
Soit $x\in E$.
On sait que … …
Donc $P(x)$ est vraie.
Conclusion. Pour tout $x\in E$, $P(x)$ est vraie.

Corrigé.
1°) $(\forall y\in\R)$ $(\exists x\in\R)$ tel que $\left[y=\dfrac{2x+3}{x+1}\right]$
Soit $y\in \R$
Existe-t-il un $x\in\R$ (ce qui permet d’introduire $x$) tel que $\left[y=\dfrac{2x+3}{x+1}\right]$ ?
Tout d’abord, cette expression existe si et seulement si $x\not=-1$.
On raisonne maintenant par équivalence jusqu’à ce qu’on soit bloqué.
Pour $x\not=-1$, on a les équivalences suivantes :
$$\begin{array}{rl}
y=\dfrac{2x+3}{x+1}\Leftrightarrow& y(x+1)=2x+3\\
\Leftrightarrow& yx+y=2x+3\\
\Leftrightarrow& yx-2x=3-y\\
\Leftrightarrow& x(y-2)=3-y\\
\end{array}$$ Pour déterminer $x$, nous devons diviser par $(y-2)$. Or, on ne peut pas diviser par $0$. On distingue alors deux cas :

$\bullet$ 1er cas : $y-2=0$, c’est-à-dire $y=2$. L’égalité devient : $x(2-2)=3-2$ ; c’est-à-dire $x\times0=1$. Donc : $0=1$. Absurde.
Autrement dit, pour $y=2$, il n’existe aucun $x\in\R$ vérifiant l’égalité.
Conclusion 1. Pour, $y=2$, la proposition logique $P$ est fausse.

$\bullet$ 2ème cas : $y\not=2$, c’est-à-dire $y-2\not=0$. L’égalité devient : $x(y-2)=3-y$. Or, $y-2\not=0$, donc on peut en déduire la valeur de $x$ : $$\boxed{~x=\dfrac{3-y}{y-2}~}$$
Conclusion 2. Pour tout $y\in\R$, $y\not=2$, la proposition logique $P$ est vraie.

2°) On peut donc récrire la proposition $P$ pour qu’elle soit vraie de la manière suivante : $$(\forall y\in\R\setminus\{2\})(\exists! x\in\R\setminus\{-1\})~\text{tel que}~\left[y=\dfrac{2x+3}{x+1}\right]$$

3°) La négation de la proposition logique $P$ du 1°) s’écrit : $$ (\exists y\in\R)(\forall x\in\R)~:~\left[y\not=\dfrac{2x+3}{x+1}\right]$$ Cette proposition logique est vraie car, il existe un $y\in\R$, $y=2$, pour lequel : $$y\not=\dfrac{2x+3}{x+1}.$$

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