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1. Ensemble des diviseurs d’un entier
Propriété n°1.
Soit $n$ un entier naturel non nul. Alors :
1°) Tout diviseur positif $d$ de $n$ est un entier compris entre $1$ et $n$.
2°) Tout entier naturel non nul $n$ admet un nombre fini de diviseurs.
Démonstration
1°) Soit $n$ un entier naturel non nul. Soit $d$ un diviseur positif de $n$.
Donc, il existe un entier relatif $k$ tel que : $n=kd$.
Or, $n$ étant positif et non nul et $d$ positif, on en déduit que $k$ est positif et non nul.
Par suite : $k\geqslant1$ et $d>0$. Donc : $kd\geqslant d$ Ce qui donne : $n\geqslant d$.
Conclusion. Tout diviseur positif $d$ de $n$ est un entier compris entre $1$ et $n$.
2°) Tout entier naturel non nul $n$ admet un nombre fini de diviseurs.
En effet, d’après 1°) tous les diviseurs positifs de $n$ sont compris entre 1 et $n$.
Et par suite, $n$ admet au plus $n$ diviseurs dans $\N$ et $2n$ diviseurs dans $\Z$.
CQFD.$\blacktriangle$
Exemple
Pour déterminer l’ensemble des diviseurs de $36$, on teste la divisibilité de $36$ par chacun des nombres entiers $d$ compris entre $1$ et $36$ compris. [On pourra s’arrêter plus tôt]. $$\begin{array}{rl}
36 &=1\times 36 \ &=2\times 18 \ &=3\times 12 \ &=4\times 9 \ &=6\times 6 \ \end{array}$$ Par conséquent : l’ensemble des diviseurs positifs de $36$ est : $${\mathscr L}_{36}=\{1; 2; 3; 4; 6; 9; 12; 18; 36\}$$ CQFD.$\blacktriangle$
2. Transitivité de la divisibilité
Propriété n°2.
Pour tous entiers relatifs $a$, $b$ et $c$, non nuls, on a : [Si $a|b$ et $b|c$, alors $a|c$].
Démonstration
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Supposons que $a|b$ et $b|c$.
Comme $a|b$, il existe un entier relatif $k$ tel que : $b = ka$ (1)
et comme on a aussi $b|c$, il existe un entier relatif $k’$ tel que : $c=k’b$ (2).
D’après (1) et (2), on a alors : $c= k’b = k'(ka) = (k’k)a$. On pose alors : $k » = kk’$.
Donc, il existe un entier relatif $k »$ tel que : $c = k »a$. Ce qui montre que $a|c$.
CQFD.$\blacktriangle$
3. Combinaisons linéaires
Propriété n°3 et définition.
1°) Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$, non nuls : [ Si $a|b$ et $a|c$, alors $a|b+c$ et $a|b-c$]
2°) Pour tous entiers $a$, $b$ et $c$, non nuls : [Si a | b et a | c, alors pour tous entiers relatifs $\alpha $ et $\beta$, on a : [$a |(\alpha b+\beta c)].
On dit que $a$ divise toute combinaison linéaire de $b$ et $c$.
Démonstration
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Supposons que $a|b$ et $b|c$.
Comme $a|b$, il existe un entier relatif $k$ tel que : $b = ka$ (1)
et comme on a aussi $a|c$, il existe un entier relatif $k’$ tel que : $c=k’a$ (2).
D’après (1) et (2), on a alors : $c= k’b = k'(ka) = (k’k)a$. On pose alors : $k » = kk’$.
Mais alors : $b+c = ka+k’a = (k+k’)a$. On pose alors : $k » = k+k’$. Comme $k$ et $k’$ sont des entiers relatifs, il en est de même pour $k »$. Par conséquent, il existe un entier relatif $k »$ tel que : $b+c = k »a$. Ce qui montre que $a|(b+c)$.
De même, on démontre que : $a|(b – c)$.
D’une manière analogue, on démontre que : $a| (\alpha b+\beta c)$.
Il suffit de poser : $k = \alpha k+\beta k’$.
CQFD.$\blacktriangle$
4. Exercices résolus
Exemple résolu n°1.
Soit $n$ un entier relatif. On définit deux entiers relatifs $a$ et $b$ par : $a=2n+9$ et $b=n+3$.
Soit $d$ un entier relatif, diviseur commun à $a$ et $b$.
1°) Calculer $a-2b$ ;
2°) Déterminer l’ensemble des valeurs possibles de $d$.