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1. Multiples et diviseurs dans $\Z$

Définition 1. : Soient $a$ et $b$ deux nombres entiers relatifs. On dit que $b$ divise $a$ et on note $b|a$ si, et seulement si, il existe un entier relatif $k$ tel que : $a=kb$. On dit aussi que $b$ est un diviseur de $a$ ou encore que $a$ est un multiple de $b$.

Exemples

  • 4 est un diviseur de 24, car il existe un entier tel que
  • Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de 0.
  • 0 est un multiple de tous les entiers relatifs. [Une petite nuance avec le point précédent.]
  • Tous les entiers relatifs non nuls sont des diviseurs de 0.
  • Tous les entiers relatifs sont des divisibles par 1 et –1.
  • Tous les entiers relatifs sont des multiples de 1 et –1.

2. Premières propriétés 

Propriété n°1. 
$(P_1)$ : Pour tout entier relatif non nul $a$ : [$a$ divise $a$]. (Réflexivité) $$\boxed{(\forall a\in\Z)~:~a|a~~}$$

Démonstrations. Exercices ci-dessous

Propriété n°2. 
$(P_2)$ : Pour tous entiers non nuls $a$ et $b$ : (Antisymétrie) $$\boxed{~~[~a|b~~\text{et}~~b|a~] \Rightarrow a=b~\text{ou}~a=-b~]~~}$$

Propriété n°3. 
$(P_3)$ : Pour tous entiers non nuls $a$, $b$ et $c$ : (Transitivité) $$\boxed{~~[~a|b~~\text{et}~~b|c~] \Rightarrow a|c~]~~}$$

Propriété n°4. 
$(P_4)$  Pour tous entiers non nuls $a$ et $b$, on a les équivalences suivantes : $$\boxed{~~b|a\Leftrightarrow ~-b|a~\Leftrightarrow ~b|-a~\Leftrightarrow ~-b|-a~~}$$

Propriété n°5. 
$(P_5)$ : Si $a$ est un multiple de $b$ et $a\not=0$, alors $$\boxed{~~\abs{a}\geqslant\abs{b}~~}$$

3. Critères de divisibilité dans $\N$ (Rappels)

3.1. Critères de divisibilité par terminaison

  • Un entier naturel est divisible par 2 si et seulement si, il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8.
  • Un entier naturel est divisible par 4 si et seulement si, ses deux derniers chiffres forment un nombre divisible par 4. [ou par 2, puis par 2]
  • Un entier naturel est divisible par 5 si et seulement si, il se termine par 0 ou 5.
  • Un entier naturel est divisible par 10 si et seulement si, il se termine par 0.
  • Un entier naturel est divisible par 6 si et seulement si, il est divisible par 2 et par 3.

3.2. Critères de divisibilité par somme des chiffres

  • Un entier naturel est divisible par 3 si et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3.
  • Un entier naturel est divisible par 9 si et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 9.

3.3. Critères de divisibilité par différence des chiffres

  • Un entier naturel est divisible par 11 si et seulement si, la différence entre la somme de ses chiffres de rangs impairs et la somme de ses chiffres de rangs pairs est divisible par 11.

Exemples

  • 583 est divisible par 11, car (5+3) – 8 = 0 est multiple de 11 et on a bien : $53 \times11 =583$.
  • 56749 est divisible par 11, car (5+7+9) – (6+4) =21-10= 11 est multiple de 11 et on a bien : $56749=5159\times11$.

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Démontrer la propriété $(P_1)$ : Pour tous entier relatif non nul $a$ : $$[~a|a~]$$

Démonstration
Pour tout entier relatif non nul $a$, il existe un entier relatif $k=1$ tel que $a=1\times a$. Donc $a|a$.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2.
Démontrer la propriété $(P_2)$ : Pour tous entiers non nuls $a$, $b$ : $$[~a|b~~\text{et}~~b|a~] \Rightarrow a=b~\text{ou}~a=-b~]$$

Démonstration
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls.
Supposons que : $a|b$ et $b|a$.
Comme $a|b$, il existe un entier relatif $k$ tel que : $b=ka$ (1)
et comme on a aussi $b|a$, il existe un entier relatif $k’$ tel que : $a = k’b$ (2).

D’après (1) et (2), on a alors : $b=ka=k(k’b)=(kk’)b$. Ce qui donne :
$b-kk’b=0$ ou encore : $b(1-kk’)=0$. D’après le théorème du produit nul : $b=0$ ou $1-kk’=0$.
Comme $b$ est non nul, il est clair que : $1-kk’=0$. Ce qui montre que $kk’=1$.

Or, les seuls entiers relatifs inversibles dans $\Z$ sont $1$ et $-1$. On a donc deux cas possibles : $k=1$ ou $k=-1$.
1er cas : $k=1$, donc $k’=1$ et $a=b$ ;
2ème cas : $k=-1$, donc $k’=-1$ et $a=-b$.

Conclusion : $a=b$ ou $a=-b$. CQFD.$\blacktriangle$
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3.
Démontrer la propriété $(P_3)$ : Pour tous entiers non nuls $a$, $b$ et $c$ : $$[~a|b~~\text{et}~~b|c~] \Rightarrow a|c~]$$

Démonstration
Soient $a$, $b$ et $c$ trois entiers relatifs non nuls.
Supposons que : $a|b$ et $b|c$.
Comme $a|b$, il existe un entier relatif $k$ tel que : $b=ka$ (1)
et comme on a aussi $b|c$, il existe un entier relatif $k’$ tel que : $c = k’b$ (2).

D’après (1) et (2), on a alors : $c=k’b=k'(ka)=(k’k)a$.
On pose $k »=kk’$. Comme $k$ et $k’$ sont des entiers relatifs, leur produit $k »\in\Z$.
Donc, il existe un entier relatif $k »$ tel que : $c=k »a$ (3)
Ce qui montre que $a|c$.

Conclusion : Si $a|b$ et $b|c$, alors $a|b$. CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°4.
Démontrer la propriété $(P_4)$ : Pour tous entiers non nuls $a$ et $b$, on a les équivalences suivantes : $$\boxed{~~b|a\Leftrightarrow ~-b|a~\Leftrightarrow ~b|-a~\Leftrightarrow ~-b|-a~~}$$

Démonstration
Montrons la première équivalence. Pour cela, il suffit de montrer une implication. La réciproque est la même implication.
Soient $a$ et $b$ deux entiers relatifs non nuls.
Supposons que : $b|a$. Donc, il existe un entier relatif $k$ tel que : $b=ka$.
Mais alors : $-b=-ka=(-k)a$.
Il suffit de poser $k’=-k$, pour montrer que $-b|a$.
CQFD.$\blacktriangle$

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