Dérivation locale. Nombre dérivé d’une fonction en un point. Taux d’accroissement
1. Taux d’accroissement d’une fonction
1.1. Taux d’accroissement
Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)\in ${\mathcal C}_f$. $x_A\not=x_B$.
On appelle taux d’accroissment $\tau(x_A;x_B)$ de la fonction $f$ entre $x_A$ et $x_B$, le nombre réel : $$\color{brown}{\begin{array}{c}
\boxed{\;\tau(x_A;x_B)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}\\
\boxed{\; \tau(x_A;x_B)=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\;}\end{array} }$$
C’est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A(a ; f(a))$ et $B(b;f(b))$.
$\tau$ est la lettre grecque « tau ». Ça tombe bien !
Dans ce contexte, $\Delta x$ peut se lire « accroissement » entre $x_A$ et $x_B$ ou « différence » entre $x_B$ et $x_A$.

Autre méthode. Si on pose $h=b-a$, alors $b=a+h$ et $\Delta x=h$. On obtient une deuxième version de cette définition :
Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Soit $h$ un nombre réel non nul, proche de zéro, tel que $a+h\in I$. On appelle taux d’accroissment de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$, le nombre réel : $$\color{brown}{\boxed{\;\tau(a;a+h)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$ C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A(a ;f(a))$ et $M(a+h ;f(a+h))$.

Exemple 1.
Exercice résolu n°1.
Déterminer le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$.
1.2. Nombre dérivé en un point
Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$.
Lorsque $h$ prend des valeurs $h_1$, $h_2$, $h_3$,… « de plus en plus proches de $0$ », le point $M$ prend successivement les positions $M_1$, $M_2$, $M_3$,… et $a+h$ prend des valeurs « de plus en plus proches de $a$ » ; les droites $(AM_1)$, $(AM_2)$, $(AM_3)$,… tendent vers une position limite : la droite $T_a$, tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
Le coefficient directeur de cette droite $T_a$ s’appelle le nombre dérivé de la fonction au point d’abscisse $a$ et se note $f'(a)$.

Définition 3.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et.On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un nombre réel fini, noté $f$ ‘(a), lorsque $h$ tend vers $0$ et on écrit : $$\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\tau(a;a+h) \;}$$ Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$
Le nombre réel $f'(a)$, lorsqu’il existe, s’appelle le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ et désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
(A connaître par coeur…).
Remarque importante.
Dans un repère orthonormé, $O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$, le coefficient directeur de la droite tangente $T_a$, donc le nombre dérivé de la fonction $f$, désignent aussi la pente de la droite $T_a$ par rapport à l’axe des abscisses.
Exemple 2.
Exercice résolu n°2.
La fonction carrée définie sur $\R$ par $f :x\mapsto x^2$, est-elle dérivable en $a=1$~? Si oui, calculez $f'(1)$.
Par conséquent, la droite $T_1$, la pente de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est égale à $f'(1)=2$ qu’on peut écrire : $2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Ce qui signifie que : à partir du point $A(1;1)$, on avance de $\Delta x=1$ et on monte de $\Delta y=2$.

Exemple 3.
Exercice résolu n°3.
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;5]$ par : $f(x)=-x^2+3x-5$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $2$ en utilisant la définition. On effectue les calculs en deux étapes :
Vues : 108