Dérivation locale. Nombre dérivé d’une fonction en un point. Taux d’accroissement

1. Taux d’accroissement d’une fonction

1.1. Taux d’accroissement

Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$. Soient $A(x_A;y_A)$ et $B(x_B;y_B)\in ${\mathcal C}_f$. $x_A\not=x_B$.
On appelle taux d’accroissment $\tau(x_A;x_B)$ de la fonction $f$ entre $x_A$ et $x_B$, le nombre réel : $$\color{brown}{\begin{array}{c}
\boxed{\;\tau(x_A;x_B)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\;}\\
\boxed{\; \tau(x_A;x_B)=\dfrac{f(x_B)-f(x_A)}{x_B-x_A}\;}\end{array} }$$
C’est le coefficient directeur de la droite $(AB)$ où $A(a ; f(a))$ et $B(b;f(b))$.

$\tau$ est la lettre grecque « tau ». Ça tombe bien !

Dans ce contexte, $\Delta x$ peut se lire « accroissement » entre $x_A$ et $x_B$ ou « différence » entre $x_B$ et $x_A$.

Figure 1. Taux d’accroissment $\tau(a;b)$ de la fonction $f$ entre $a$ et $b$

Autre méthode. Si on pose $h=b-a$, alors $b=a+h$ et $\Delta x=h$. On obtient une deuxième version de cette définition :

Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et $a\in I$. Soit $h$ un nombre réel non nul, proche de zéro, tel que $a+h\in I$. On appelle taux d’accroissment de la fonction $f$ entre $a$ et $a+h$, le nombre réel : $$\color{brown}{\boxed{\;\tau(a;a+h)=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$ C’est le coefficient directeur de la droite $(AM)$ où $A(a ;f(a))$ et $M(a+h ;f(a+h))$.

Figure 2. Taux d’accroissement entre $a$ et $a+h$

Exemple 1.

Exercice résolu n°1.
Déterminer le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$.

Le taux d’accroissement de la fonction $f:x\mapsto x^2$, entre $1$ et $1+h$ est donné par : $$\begin{array}{rl}
\tau(1,1+h)&=\dfrac{\Delta y}{\Delta x} =\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}\\
&=\dfrac{(1+h)^2-1^2}{h}\\
&=\dfrac{1^2+2\times1\times h+h^2-a^2}{h}\\
&=\dfrac{2h+h^2}{h}\\
\color{brown}{\tau(1,1+h)} & \color{brown}{ =2+h}\\ \end{array}$$ CQFD.$\blacktriangle$

1.2. Nombre dérivé en un point

Faisons maintenant tendre $h$ vers $0$.

Lorsque $h$ prend des valeurs $h_1$, $h_2$, $h_3$,… « de plus en plus proches de $0$ », le point $M$ prend successivement les positions $M_1$, $M_2$, $M_3$,… et $a+h$ prend des valeurs « de plus en plus proches de $a$ » ; les droites $(AM_1)$, $(AM_2)$, $(AM_3)$,… tendent vers une position limite : la droite $T_a$, tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

Le coefficient directeur de cette droite $T_a$ s’appelle le nombre dérivé de la fonction au point d’abscisse $a$ et se note $f'(a)$.

Figure 3. $T_a$, tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.

Définition 3.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ de $\R$ et.On dit que la fonction $f$ est dérivable en $a$ si le taux d’accroissement de $f$ entre $a$ et $a+h$ tend vers un nombre réel fini, noté $f$ ‘(a), lorsque $h$ tend vers $0$ et on écrit : $$\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\tau(a;a+h) \;}$$ Donc : $$\color{brown}{\boxed{\; f’(a)= \dlim_{h\to0}\dfrac{f(a+h)-f(a)}{h}\;}}$$
Le nombre réel $f'(a)$, lorsqu’il existe, s’appelle le nombre dérivé de la fonction $f$ en $a$ et désigne le coefficient directeur de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $a$.
(A connaître par coeur…).

Remarque importante.

Dans un repère orthonormé, $O, \vec{\imath},\vec{\jmath})$, le coefficient directeur de la droite tangente $T_a$, donc le nombre dérivé de la fonction $f$, désignent aussi la pente de la droite $T_a$ par rapport à l’axe des abscisses.

Exemple 2.

Exercice résolu n°2.
La fonction carrée définie sur $\R$ par $f :x\mapsto x^2$, est-elle dérivable en $a=1$~? Si oui, calculez $f'(1)$.

Pour la fonction $f :x\mapsto x^2$, vue ci-dessus, nous avons : $$\dlim_{h\to0}\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dlim_{h\to0}(2+h)=2\in\R$$ Donc la fonction carrée est dérivable en $1$ et $f'(1)=2$. CQFD.$\blacktriangle$


Par conséquent, la droite $T_1$, la pente de la droite tangente à la courbe au point d’abscisse $1$ est égale à $f'(1)=2$ qu’on peut écrire : $2=\dfrac{2}{1}=\dfrac{\Delta y}{\Delta x}$.
Ce qui signifie que : à partir du point $A(1;1)$, on avance de $\Delta x=1$ et on monte de $\Delta y=2$.

Figure 4. $T_1$, droite tangente à $C_f$ en $1$.

Exemple 3.

Exercice résolu n°3.
Soit $f$ la fonction définie sur $[-1;5]$ par : $f(x)=-x^2+3x-5$. Calculer le nombre dérivé de $f$ en $2$ en utilisant la définition. On effectue les calculs en deux étapes :

1ère étape : Calcul et simplification du taux d’accroissement en $a=2$. Soit $h$ un nombre réel proche de zéro. On calcule le taux d’accroissement entre $2$ et $2+h$.
$$\begin{array}{l}
\tau_f(2;2+h)=\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}\\
=\dfrac{-(2+h)^2+3(2+h)-5-(-3)}{h}\\
=\dfrac{-(4+4h+h^2)+6+3h-5+3}{h}\\
=\dfrac{-4-4h-h^2+3h+6-5+3}{h}\\
=\dfrac{-h^2-h}{h}\\
=-\dfrac{h^2}{h}-\dfrac{-h}{h}\\
=-h-1\\
\end{array} $$
2ème étape. Calcul de la limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers $0$. (Ce qui revient à poser pratiquement $h=0$ et calculer, sauf si on tombe sur un dénominateur égal à $0$ ou la racine d’un nombre négatif ; auquel cas la dérivée n’est pas définie). On a alors : $$\dlim_{h\to0}{\dfrac{f(2+h)-f(2)}{h}}=\dlim_{h\to0}(-h-1)=\color{brown}{\boxed{\;-1\;}}$$
Conclusion. La fonction $f$ est dérivable en $2$ et son nombre dérivé en $2$ est : $$\color{brown}{\boxed{\;f’(2)=-1\;}}$$ CQFD.$\blacktriangle$