Pour démontrer l’unicité d’un objet mathématique qui vérifie certaines propriétés, l’approche typique repose sur la méthode du raisonnement par l’absurde ou directement par l’existence et l’unicité dans le cadre d’un problème donné. On suppose qu’il en existe deux différents et on démontre qu’ils sont égaux, ou bien on aboutit à une contradiction (absurde).

Ce type de raisonnement est commun pour démontrer l’unicité d’un objet dans de nombreux domaines des mathématiques, que ce soit pour des solutions d’équations, des objets géométriques, ou des éléments dans une structure algébrique.

1. Méthode de raisonnement

1.1. Définir l’objet mathématique et le contexte

Il faut d’abord décrire clairement l’objet dont on cherche à démontrer l’unicité et préciser les propriétés qu’il vérifie. Par exemple, cela pourrait être un élément particulier d’un ensemble, une solution d’une équation, une fonction, etc.

1.2. Montrer ou supposer qu’un tel objet existe

En général, pour montrer l’unicité, il faut d’abord établir que cet objet existe. Cela peut être fait en utilisant une preuve constructive (on donne explicitement l’objet) ou une preuve non constructive (on montre qu’il existe sans le construire explicitement). Dans la négative, on suppose qu’un tel objet existe et on énumère toutes ses propriétés.

1.3. Supposer qu’il y a deux objets distincts

Supposons qu’il existe deux objets différents qui satisfont les mêmes conditions. Par exemple, supposons que $A$ et $B\not= A$, soient deux objets distincts (ou deux solutions différentes), tous deux satisfaisant les mêmes propriétés ou équations.

1.4. Démontrer une contradiction

En appliquant les axiomes, les théorèmes ou les propriétés des objets en question, on cherche à déterminer une contradiction entre cette hypothèse et les propriétés de l’objet.

5. Conclure l’unicité

Si l’on aboutit à une contradiction, cela signifie que l’hypothèse que $A\not=B$,est incorrecte. Par conséquent, il ne peut y avoir qu’un seul objet qui satisfait les conditions données, et donc l’objet est unique.

Exercices résolus

Exercice résolu n°1. (Première-Terminale Spé-maths)
Soit $f$ une fonction définie sur $D=\R$ ou sur un intervalle de la forme $D=[-a;+a]$, $a\in\R^*$.
Montrer qu’il existe un couple unique de fonctions $(g; h)$, $g$ est une fonction paire et $h$ une fonction impaire telles que $$f=g+h$$

Corrigé.
Ici en fait, nous avons une question double. 1°) Tout d’abord, il faut démontrer qu’un tel couple existe. Et 2°) Démontrer que si un tel couple existe, alors il est unique.

1°) Existence
Nous partons de la propriété.
On suppose qu’il existe un couple de fonctions $(g;h)$ et on regarde comment il est construit.
$D$ est symétrique. Donc, pour tout $x\in D$, $-x\in D$.
$g$ est une fonction paire. Donc, pour tout $x\in D$ : $$\boxed{~g(-x)=g(x)~}~~(1)$$ $h$ est une fonction impaire. Donc, pour tout $x\in D$ : $$\boxed{~h(-x)=-h(x)~}~~(2)$$ Comme $f=g+h$, on peut écrire d’après (1) et (2) : $$\begin{array}{rr} f(x) = g(x)+h(x)&(3)\\ f(-x) = g(-x)+h(-x)\\ f(x)=g(x)-h(x)&(4)\\ \end{array}$$
Mais alors, en faisant la somme puis la différence membre à membre des deux égalités (3) et (4), on obtient pour tout $x\in D$ : $$\begin{array}{rr}
g(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}&\qquad(5)\\
\text{et}~~h(x)=\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}&\qquad(6)\\ \end{array}$$

Par ailleurs, pour tout $x\in D$ : $$g(-x)=\dfrac{f(-x)+f(x)}{2}=g(x)$$ Et $$h(-x)=\dfrac{f(-x)-f(x)}{2}=-\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}=-h(x)$$ Ce qui montre que la fonction $g$ est paire et la fonction $h$ impaire.
De plus, pour tout $x\in D$, on a : $$g(x)+h(x)=\dfrac{f(x)+f(-x)}{2}+\dfrac{f(x)-f(-x)}{2}=\dfrac{f(x)+f\not(-x)+f(x)-f\not(-x)}{2}=f(x)$$ Donc $$\boxed{~f=g+h~}$$
Conclusion.
CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°1. (Bac+1)
Unicité de l’élément neutre dans un groupe
Soit $(G,*)$ un groupe muni de la loi de composition interne $*$.
Soit $e$ l’élément neutre de ce groupe pour cette loi ; c’est-à-dire que $e$ est l’élément de $G$ qui satisfait $e*x=x*e=x$ pour tout $x\in G$. Déontrer que l’élément neutre est unique.

Corrigé.
a) Existence : Par définition d’un groupe, il existe un élément $e\in G$ tel que $e*x =x*e=x$ pour tout $x\in G$.

b) Supposons qu’il existe deux éléments neutres $e_1$ et $e_2$, $e_1\not=e_2$, dans $G$ qui satisfont cette propriété, c’est-à-dire que pour tout $x\in G$, on a : $$e_1*x =x*e_1=x~\text{et}~e_2*x =x*e_2=x$$

c) Contradiction :
D’une part, on sait que $e_1$ est un élément neutre pour $*$, donc on applique la propriété pour $x=e_2$. Et on obtient : $$e_1*e_2 =e_2*e_1=e_2~~(1)$$
Et d’autre part, on sait que $e_2$ est un élément neutre pour $*$, donc on applique la propriété pour $x=e_1$. Et on obtient : $$e_2*e_1=e_1*e_2 =e_1~~(2)$$ Maintenant, d’après les deux doubles égalités (1) et (2), on obtient : $$e_1=e_1*e_2 =e_2*e_1=e_2~~(3)$$ Ce qui montre que $e1=e_2$. Ce qui est une contradiction.

Conclusion. Il existe un seul élément neutre dans $G$. Par conséquent, dans un groupe $(G,*)$, l’élément neutre est unique.
CQFD.$\blacktriangle$

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