Énoncé & Corrigé du Brevet
- Exercice 1. QCM. (20 points) — Corrigé
- Exercice 2. Programme de calcul. (20 points) — Corrigé
- Exercice 3. Fonctions affines-Fonctions linéaires. (20 points) — Corrigé
- Exercice 4. Géometrie dans l’espace. (21 points) — Corrigé
- Exercice 5. Géométrie+Programme Scratch. (19 points) — Corrigé
Exercice 1. QCM (20 points)
Voici cinq affirmations. Pour chacune d’entre elles, dire si elle est vraie ou fausse. On rappelle que chaque réponse doit être justifiée. h-exercice-4-geometrie-dans-l-espace-20-points
- Voici les prix en euros d’un vêtement relevés dans différents magasins. $$12~; ~15~; ~10~; ~7~; ~13$$
Affirmation A : La moyenne des prix est 11,40 €.
Affirmation B : La médiane des prix est 10 €. - Lors d’un entraînement, une élève court 20m en 6 secondes.
Affirmation C : Lors de cet entraînement, sa vitesse moyenne était de 14 km/h. - Une urne contient 15 boules indiscernables numérotées de 1 à 15 .
Affirmation D : La probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est $\dfrac{7}{15}$. - Le triangle A$’$B$’$C$’$ est l’image du triangle ABC par l’homothétie de centre O et de rapport $(-3)$.
- Affirmation E : L’aire du triangle A$’$B$’$C$’$ est égale à 3 fois l’aire du triangle ABC.
Exercice 1. Corrigé. QCM
1°) La moyenne des prix est :
$\quad\begin{array}{rl}
\overline{x}&=\dfrac{12+15+10+7+13}{5}\\
&=\dfrac{57}{5}\\
\overline{x} &=11,4\\ \end{array}$
L’affirmation A est vraie.
2°) On commence par ranger les termes de la série par ordre croissant : $7<10<12<13<15$.
Il y a $5$ valeurs. $\dfrac{5}{2}=2,5$. La médiane est donc la $3$-ième valeur de la série, soit $M_e=12$.
L’affirmation B est fausse.
La vitesse moyenne de l’élève est $v=\dfrac{20}{6}=\dfrac{10}{3}$ m/s.
Or $14$ km/h $=\dfrac{14~000}{3~600}$ m/s $= \dfrac{35}{9}$ m/s.
Or, $\dfrac{10}{3}\neq \dfrac{35}{9}$, car : $10\times 9\not=3\times 105$.
L’affirmation C est fausse.
Les nombres premiers compris entre $1$ et $15$ sont : $2$, $3$, $5$, $7$, $11$ et $13$.
On est en situation d’équiprobabilité. Donc, la probabilité de tirer au hasard une boule sur laquelle apparaît un nombre premier est : $\dfrac{6}{15}$.
L’affirmation D est fausse.
Le triangle $A’B’C’$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $O$ et de rapport $(-3)$.
Donc, d’après le cours, l’aire du triangle $A’B’C’$ est égale à $3^2=9$ fois l’aire du triangle $ABC$.
L’affirmation E est fausse.
Exercice 2. Programme de calcul. (20 points)
Voici un programme de calcul :
$$\begin{array}{rcl}
& \boxed{\text{Nombre choisi au départ}} & \\
&\swarrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \searrow & \\
\boxed{~~~\text{ Ajouter 2 }~~~} & & \boxed{\text{ Multiplier par 5 }} \\
~~~\downarrow ~~~~~~~~~~ & & ~~~~~~~~~~\downarrow ~~~\\
\boxed{~~~\text{Multiplier par 4}~~~} & & \boxed{\text{ Soustraire3 }} \\
&\searrow ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~ \swarrow & \\
& \boxed{\text{Multiplier les deux nombres}} & \\
& ~~~~~~~~~~\downarrow ~~~~~~~~~~& \\
& \boxed{\text{Résultat obtenu à l’arrivée}} & \\
\end{array}$$
- Montrer que si on choisit 2 comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est 112 .
- Quel est le résultat obtenu à l’arrivée quand on choisit -3 comme nombre de départ?
- On choisit $x$ comme nombre de départ.
Parmi les expressions suivantes, lesquelles permettent d’exprimer le résultat à l’arrivée de ce programme de calcul. Aucune justification n’est demandée.
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Expression } A & \text{Expression } B \\ \hline
(x+2 \times 4)(x \times 5-3) & (4 x+2)(5 x-3) \\ \hline \end{array}$$
$$\begin{array}{|c|c|} \hline \text{Expression } C & \text{Expression } D \\ \hline (4 x+8)(5 x-3) & (x+2) \times 4 \times(5 x-3) \\ \hline \end{array}$$ - Trouver les deux nombres de départ qui permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée. Expliquer la démarche.
- Développer et réduire l’expression $B$.
Exercice 2. Corrigé. Programme de calcul
- Si on choisit $2$ comme nombre de départ, on obtient :
$2+2=4$ ; $4\times 4=16$ à gauche
$2\times 5=10$ ; $10-3=7$ à droite
puis $16\times 7=112$
Conclusion. Si on choisit $2$ comme nombre de départ, le résultat à l’arrivée est bien : $112$. - Si on choisit comme nombre de départ $-3$, on obtient :
$-3+2=-1$ ; $-1\times 4=-4$ à gauche
$-3\times 5=-15$ ; $-15-3=-18$ à droite
puis $-4\times (-18) = 72$
Conclusion. Le résultat obtenu à l’arrivée est donc : $72$. - Le côté gauche fournit le nombre $4(x-2)$ et le côté droit le nombre $5x-3$.
Le résultat à l’arrivée est donc $4(x-2)(5x-3)$.
Conclusion. Il s’agit par conséquent de l’expression $D$.
De plus, on a aussi : $4(x-2)=4x-8$. Donc, l’expression $C$ est également correcte. - Si on obtient $0$ à l’arrivée cela signifie que $4(x+2)(5x-3)=0$.
C’est une équation produit-nul.
Or, d’après le théorème du produit-nul, « un produit de facteur est nul si, et seulement si, l’un au moins de ses facteurs est nul. ». Donc
$x+2=0$ ou $5x-3=0$,
Donc $x=-2$ ou $5x=3$,
Ce qui donne : $x=-2$ ou $x=\dfrac{3}{5}$
Conclusion. Les nombres $-2$ et $\dfrac{3}{5}$ permettent d’obtenir $0$ à l’arrivée. - Développer et réduire l’expression B : $$\begin{array}{rl} B&=(4x+2)(5x-3) \\ &=20x^2-12x+10x-6 \\ B&=20x^2-2x-6\end{array}$$
Conclusion. $\boxed{~B=20x^2-2x-6~}$.
Exercice 3. Fonctions affines – Fonctions linéaires (20 points)
Un cinéma propose trois tarifs :
Tarif « Classique » : La personne paye chaque entrée 11 €.
Tarif « Essentiel » : La personne paye un abonnement annuel de 50 € puis chaque entrée coûte 5 €.
Tarif « Liberté » : La personne paye un abonnement annuel de 240 € avec un nombre d’entrées illimité.
- Avec le tarif « Classique », une personne souhaite acheter trois entrées au cinéma.
Combien va-t-elle payer ? - Avec le tarif « Essentiel », une personne souhaite aller huit fois au cinéma.
Montrer qu’elle va payer 90 €. - Dans la suite, $x$ désigne le nombre d’entrées au cinéma.
On considère les trois fonctions $f, g$ et $h$ suivantes : $$f:x\longmapsto 50+5x\qquad g:x\longmapsto 240\qquad h:x\longmapsto 11 x$$
Associer, sans justifier, chacune de ces fonctions au tarif correspondant.
Le graphique ci-dessous représente le prix à payer en fonction du nombre d’entrées pour chacun de ces trois tarifs.
La droite $(d_1)$ représente la fonction correspondant au tarif « Classique ».
La droite $(d_2)$ représente la fonction correspondant au tarif « Essentiel ».
La droite $(d_3)$ représente la fonction correspondant au tarif « Liberté ».
- Quel tarif propose un prix proportionnel au nombre d’entrées ?
- Pour les questions suivantes, aucune justification n’est attendue.
- a) Avec 150 €, combien peut-on acheter d’entrées au maximum avec le tarif « Essentiel » ?
- b) À partir de combien d’entrées, le tarif « Liberté » devient-il le tarif le plus intéressant ?
- c) Si on décide de ne pas dépasser un budget de 200 €, quel est le tarif qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées ?
Exercice 3. Corrigé. Fonctions affines – Fonctions linéaires
- Avec le tarif « Classique », 3 entrées au cinéma coûtent :
$11\times 3=33$
Conclusion. Avec le tarif « Classique » cette personne va payer $33$ €. - Avec le tarif « Essentiel », 8 entrées au cinéma coûtent :
$50+8\times 5 =50+40 =90$
Conclusion. Avec le tarif « Essentiel » cette personne va payer $90$ €. - a) $g$ est une fonction constante. Elle est donc représentée par la droite $(d_3)$.
b) $h$ est une fonction linéaire est donc représentée par une droite passant par l’origine du repère. Donc, $h$ est représentée par la droite $(d_1)$.
c) $f$ est donc représentée par la droite $(d_2)$.
Une situation de proportionnalité est associée à une fonction linéaire.
Donc, le tarif « Classique » propose un prix proportionnel au nombre d’entrées.
a) On cherche à déterminer la plus grande valeur de l’entier naturel $x$ tel que :
$50+5x=150$, donc $5x = 100$ et par suite : $x=20$.
Conclusion. On peut donc acheter au maximum $20$ places au tarif « Essentiel » avec $150$ €.
b) La droite $(d_3)$ est en dessous de la droite $(d_2)$ à partir de $x=38$ entrées.
Conclusion. En achetant $38$ entrées les deux tarifs reviennent au même prix ; et à partir de $39$ entrées le tarif « Liberté » est plus avantageux.
c) Graphiquement, le tarif « Classique » permet d’acheter $18$ entrées et le tarif « Essentiel » permet d’en acheter $30$ avec un budget de $200$ €.
Conclusion. C’est donc le tarif « Essentiel » qui permet d’acheter le plus grand nombre d’entrées.
Exercice 4. Géométrie dans l’espace (21 points)
M. et Mme Martin veulent construire une terrasse en béton dans leur jardin. Ils souhaitent que leur terrasse ait une hauteur de $15$cm. Les représentations ci-dessous ne sont pas à l’échelle.
Vue en perspective de la terrasse
Rappel : Le volume d’un prisme est donné par la formule : $$\boxed{~V = \text{Aire(base)}\times\text{Hauteur}~}$$
Vue de dessus de la terrasse
- Montrer que FJ $= 4$~m.
- Afin de pouvoir couler le béton, $M$. et Mme Martin doivent délimiter la terrasse en installant des planches tout autour. Quelle longueur de planches doivent-ils acheter au minimum ?
- M. et Mme Martin souhaitent réaliser $4\,$m$^3$ de béton.
- a) Montrer que le volume de la terrasse est bien inférieur à $4\,$m$^3$.
- b) Sachant que pour faire $1\,$m$^3$ de béton, il faut $250\,$kg de ciment, quelle masse de ciment (en kg) doivent-ils acheter pour réaliser $4\,$m$^3$ de béton ?
- c) Pour faire du béton, on ajoute de l’eau à un mélange de ciment, de gravier et de sable.
Dans ce mélange, les masses de ciment – gravier – sable sont dans le ratio $2: 7: 5$.
Déterminer (en kg), la masse de gravier et la masse de sable nécessaires pour réaliser les $4\,$m$^3$ de béton.
- M. et Mme Martin souhaitent peindre la surface supérieure de leur terrasse.
À l’aide des documents 1,2 et 3 , déterminer le type et le nombre de pots nécessaires pour effectuer ces travaux avec un coût minimum.
$$\boxed{~~
\begin{array}{c}
\textbf{Document 1 :}\\
\text{Pots de peinture proposés} \\
\begin{array}{|c|c|c|} \hline
Modèle & \text{Pot A} & \text{Pot B} \\ \hline
\text{Contenance (en litres)} & 5 & 10 \\ \hline
\text{Prix (en euros)} & 79,90 & 129,90 \\ \hline
\end{array}\\
\end{array}~~}$$
$$\boxed{~~\begin{array}{c}
\textbf{Document 2 :}\\
\text{ L’offre du mois} \\
\text{Moins 50}\% \\
\text{sur le deuxième article}\\
\text{identique}\\
\end{array}~~}$$
$$\boxed{~~
\begin{array}{c}
\textbf{Document 3 :}\\
\text{Deux couches de peinture sont nécessaires.}\\
\text{1 litre de peinture permet de réaliser une couche de 5m$^2$.}
\end{array}~~}$$
Exercice 4. Corrigé. Géométrie dans l’espace
- $F\in[EJ]$. Or $EF=6$m car $EFGH$ est un rectangle. Et comme $EJ=10$m, on obtient : $$FJ=EJ-EF=10-6=4$$
Conclusion. $FJ=4\,$m. - Le triangle $FGJ$ est rectangle en $F$. Donc, d’après le théorème de Pythagore, on a : $$\begin{array}{rl} GJ^2&=FJ^2+FG^2 \\ GJ^2&=4^2+3^2 \\ GJ^2&=16+9\\ GJ^2&=25\\ \end{array}$$ Or, $GJ$ est une longueur, donc $GJ=+\sqrt{25}=5$.
Conclusion. $GJ=5\,$m.
Le périmètre du polygone $EFJGH$ est alors égal à : ${\mathcal P}=10+5+6+3=24\,$m.
Conclusion. Ils doivent donc acheter au minimum $24\,$m de planches. - a. Le volume de la terrasse est égal à :
$$\begin{array}{rl} V&=\text{Aire(base)}\times\text{Hauteur}\\ V&=24\times 0,15 \\ V&=3,6 \\ V&<4\end{array}$$
Conclusion. Le volume de la terrasse est bien inférieur à $4\,$m$^3$.
b. Pour réaliser $4\,$m$^3$ de béton, il faut acheter $4\times 250=1\,000\,$kg de ciment.
c. Il faut donc $\dfrac{7}{2}\times 1\,000=3\,500\,$kg de gravier et $\dfrac{5}{2}\times 1\,000=2\,500\,$kg de sable pour réaliser $4\,$m$^3$ de béton. - L’aire du rectangle $EFGH$ est égale à $3\times 6=18\,$m$^2$.
L’aire du triangle rectangle $FGJ$ est égale à $\dfrac{3\times 4}{2}=6\,$m$^2$.
Ils doivent donc peindre $18+6=24\,$m$^2$.
Deux couches étant nécessaires il faut donc peindre $2\times 24=48\,$m$^2$.
$\dfrac{48}{5}=9,6$ : il faut donc au moins $9,6$ litres de peinture.
Avec le pot A : il faut prévoir $2$ pots. Le deuxième article identique ayant une réduction de $50\%$, cela coûte $79,9\times 1,5=119,85\,$€.
Avec le pot B il ne faut qu’un seul pot qui coûte $129,90\,$€.
Conclusion. Pour effectuer ces travaux avec un coût minimum, il faut choisir d’acheter $2$ pots de l’offre A.
Exercice 5. Géométrie (19 points)
Dans cet exercice on considère la figure codée ci-dessous.
Les points A, C et E sont alignés.
Les points B, C et D sont alignés.
$AB=240\,$mm et $CE=80\,$mm.
Partie A
- Montrer que le triangle ABC est équilatéral.
- Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Partie B
On donne le programme suivant qui permet de tracer la figure précédente.
Ce programme comporte une variable nommée « côté ».
Les longueurs sont données en pas : 1 pas représente 1 mm.
On rappelle que l’instruction :
signifie que le lutin se dirige horizontalement vers la droite.
- Quelles sont les coordonnées du point de départ du lutin ?
Aucune justification n’est demandée. - Quelle valeur doit être saisie à la ligne 4 dans le programme ?
Aucune justification n’est demandée. - Le lutin démarre à la case D8. Dans quelle case se trouve-t-il lorsqu’il vient d’exécuter la ligne 7 du programme ? Aucune justification n’est demandée.
Expliquer l’instruction « côté /3 » de la ligne 8 du programme pour le tracé de la figure.
Exercice 5. Corrigé. Géométrie
Partie A
- Par lecture graphique, on a :
Les angles $\hat A$ et $\hat B$ ont la même mesure, soit 60 ° ;
Or, la somme des trois angles d’un triangle est égale à 180°. Donc : $$\hat A+\hat B+\hat C =180°$$ Donc, la mesure de l’angle $\hat C$ est : $$\hat C=180 − (60 + 60) = 180 − 120 = 60°$$
.
2ème méthode :
D’après la figure, le triangle CDE a ses trois côtés de même longueur. Donc, le triangle CDE est équilatéral, donc la mesure de l’angle $\widehat{DCE}=60°$. Or, les deux angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{DCE}$ sont opposés par le sommet. Donc : $\widehat{ACB}=60°$.
Finalement, le triangle ABC a ses trois angles de même mesure : il est équilatéral.
. - D’après la figure : $CD = DE = EC$ donc le triangle $CDE$ est équilatéral donc en particulier $\widehat{CED} = 60°.
Les angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CED}$ ont la même mesure et sont donc alternes-internes. Par conséquent, les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
.
2ème méthode :
On sait que les deux triangles $ABC$ et $CDE$ sont équilatéraux avec : $CD = DE = EC = 80$mm et $AB = BC = CA = 240$mm. On peut donc utiliser la réciproque du théorème de Thalès. On sait que : $$\dfrac{CE}{AC}=\dfrac{CD}{CB}=\dfrac{DE}{AB} =\dfrac{80}{240} =\dfrac{1}{3}$$
Donc, d’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites $(AB)$ et $(DE)$ sont parallèles.
Partie B
- Le point de départ a pour coordonnées (D8), soit $(−180 ; −150)$.
- À l’instruction 7 on revient au point de départ et on avance de 240 pas pour aller dessiner le petit triangle. Il faut donc saisir la valeur $240$ à la ligne $4$ du programme.
- Après l’exécution de la ligne le lutin se trouve au point de coordonnées (G3).
- Le triangle $DCE$ est l’image du triangle $ABC$ par l’homothétie de centre $C$ et de rapport $\dfrac{240}{60}=\dfrac{1}{3}$.