1. Coordonnées polaires d’un point du plan (Rappel 1ère)

Dans le plan complexe, nous utiliserons le repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$ et pas $(O;\vec{\imath};\vec{\jmath})$ pour éviter les confusions possibles entre le vecteur $\vec{\imath}$ et le nombre complexe $i$ avec $i^2=-1$.

Définition 1.
Nous avons vu en classe de 1ère, qu’à tout point $M(x;y)$, de coordonnées cartésiennes $(x;y)$ du plan réel, on associe les deux nombres réels : $r=||\overrightarrow{OM}||\in\R^{+}$ (norme du vecteur $\overrightarrow{OM}$) et $\theta=(\vec{u};\overrightarrow{OM})$ (modulo $2\pi$), qui n’est autre que l’angle orienté que forme le vecteur $\overrightarrow{OM}$ avec le vecteur de base $\vec{u}$ de direction [Ox). Ainsi $\theta$ est l’angle orienté que forme le vecteur la demi-droite $[OM)$ avec la demi-droite $[Ox)$ : $\theta=\widehat{xOM}$.
Le couple $(r;\theta)$ correspond aux coordonnées polaires du point $M$ dans le plan muni du repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.

Coordonnées polaires de $M$

Conséquence

Théorème 1.
Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$.
Soit $M$ un point du plan complexe d’affixe $z=x+\i y$. Alors les coordonnées cartésiennes de $M$ sont $(x;y)$. On note $(r;\theta)$ les coordonnées polaires de $M$. Alors :
1°) Si je connais les coordonnées cartésiennes $(x;y)$, je peux calculer les coordonnées polaires $(r;\theta)$ de $M$ : $$r=\sqrt{x^2+y^2}\quad\text{et}\quad\begin{cases} \cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}=\dfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}\\ \sin\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}=\dfrac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}\end{cases}$$
2°) Si je connais les coordonnées polaires $(r;\theta)$, je peux calculer les coordonnées cartésiennes $(x;y)$ de $M$ : $$\boxed{~~x=r \cos\theta\quad\text{et}\quad y=r\sin\theta~~}$$

2. Forme trigonométrique d’un nombre complexe

Nous allons – tout simplement – traduire les écritures du théorème ci-dessus avec les nombres complexes.

Définition 2.
A tout point $M$ d’affixe $z=x+\i y$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$, on associe les deux nombres réels :
1°) $\boxed{~r=\sqrt{x^2+y^2}~}$ qu’on appelle le module de $z$ et on note : $r=\abs{z}$ ;
2°) $\boxed{~\theta=(\vec{u};\overrightarrow{OM})~}$ (modulo $2\pi$) qu’on appelle l’argument de $z$ et on note $\theta=\arg(z)~[2\pi]$ (lire « modulo $2\pi$ », c’est-à-dire à un multiple de $2\pi$ près).
Alors, l’écriture : $$\boxed{~~z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)~~}$$ s’appelle la forme trigonométrique de $z$.

Remarque

Nous étudierons les « propriétés du module et de l’argument d’un nombre complexe » sur d’autres pages. (Ouvrez les liens dans d’autres onglets.)

Soit $z\in\C$ et $M$ d’affixe $z=x+\i y$ dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct $(O;\vec{u};\vec{v})$. On a alors : $$\boxed{~~z=x+\i y=r\cos\theta+\i r\sin\theta=r(\cos\theta+\i\sin\theta)=\abs{z}(\cos\theta+\i\sin\theta).~~}$$ D’après cette définition, nous pouvons maintenant passer de la forme algébrique à la forme trigonométrique de $z$ et inversement avec les relations suivantes : $$\boxed{\begin{array}{l}
\bullet~~z=x+\i y\qquad Forme~algébrique\\
\bullet~~r=\abs{z}=||\overrightarrow{OM}|| = \sqrt{x^2+y^2}\\
\bullet~~x=r \cos\theta\quad\text{et}\quad y=r\sin\theta\\
\bullet~~\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z}}\quad\text{et}\quad\sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z}}\\
\bullet~~z=r(\cos\theta+\i\sin\theta)\quad Forme~trigonométrique\end{array}~~}$$

3. Cosinus et sinus des angles de références pour la forme trigonométrique

Dans ce paragraphe, nous rappelons les différents angles de références pour déterminer la forme trigonométrique d’un nombre complexe. En réalité, dans la plupart des exercices utiliseront les 6 angles suivants donnés en radian : $0$, $\dfrac{\pi}{6}$, $\dfrac{\pi}{4}$, $\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$, ou leurs symétriques par rapport à l’axe des abscisses du repère, à savoir : $\dfrac{2\pi}{3}$, $\dfrac{3\pi}{4}$, $\dfrac{5\pi}{6}$ et $\pi$, ainsi que les opposés de tous ces angles, symétriques par rapport à l’axe des ordonnées du repère.

Le cosinus se lit sur l’axe des abscisses et le sinus sur l’axe des ordonnées. Les signes du cosinus et du sinus dépendent dans quel cadran du repère se situe l’angle $\theta$. $$\begin{array}{|c|c|}\hline
\begin{array}{c}\color{brown}{\text{2ème Cadran}}\\ \cos<0\\ \sin>0\\ \end{array}
&\begin{array}{c}\color{brown}{\text{1er Cadran}}\\ \cos>0\\ \sin>0\\ \end{array} \\ \hline
\begin{array}{c}\color{brown}{\text{3ème Cadran}}\\ \cos<0\\ \sin<0\\ \end{array}
&\begin{array}{c}\color{brown}{\text{4ème Cadran}}\\ \cos>0\\ \sin<0\\ \end{array}\\ \hline \end{array}$$
Rappelons maintenant le tableau des valeurs des cosinus et sinus des angles de référence dans le 1er cadran du repère : $$\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline
\text{Angles} & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2}\\ \hline
\text{cosinus} & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \\ \hline
\text{sinus} & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \\ \hline
\end{array}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°1. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $z_1=1+\i$.

1er réflexe : Je calcule le module de $z_1=1+\i$. $$\abs{z_1}=\sqrt{1^2+1^2}=\boxed{~\sqrt{2}~}$$
2ème réflexe : Je cherche l’argument de $z_1=1+\i$. Pour cela, je calcule $\cos\theta$ et $\sin\theta$. $$\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{x}{\abs{z_1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\boxed{~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~}\\
\sin\theta=\dfrac{y}{\abs{z_1}}=\dfrac{1}{\sqrt{2}}=\boxed{~\dfrac{\sqrt{2}}{2}~} \\ \end{cases}$$

3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique, ou mon tableau de référence des cosinus et sinus, en notant les signes du cosinus et du sinus pour déterminer dans quel cadran du repère je dois choisir mon angle $\theta$.

Ici, nous voyons bien que l’argument de $z_1=1+\i$ est : $$\boxed{~\theta=\dfrac{\pi}{4}~}$$
Conclusion. La forme trigonométrique du nombre complexe $z_1=1+\i$ est : $$\boxed{~~z_1=\sqrt{2}\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{4}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{4}\right) \right)~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°2. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $z_2=1+\i\sqrt{3}$.

1er réflexe : Je calcule le module de $z_2=1+\i\sqrt{3}$. $$\abs{z_2}=\sqrt{1^2+\sqrt{3}^2}=\sqrt{4}=\boxed{~2~}$$
2ème réflexe : Je cherche l’argument de $z_2=1+\i\sqrt{3}$. Pour cela, je calcule $\cos\theta$ et $\sin\theta$. $$\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{y}{\abs{z_2}}=\boxed{~\dfrac{1}{2}~} \\
\sin\theta=\dfrac{x}{\abs{z_2}}=\boxed{~\dfrac{\sqrt{3}}{2}~}\\ \end{cases}$$

3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique, ou mon tableau de référence des valeurs des cosinus et sinus, en notant les signes du cosinus et du sinus pour déterminer dans quel cadran du repère je dois choisir mon angle $\theta$.

Ici, nous voyons bien que l’argument de $z_2=1+\i\sqrt{3}$ est : $$\boxed{~\theta=\dfrac{\pi}{3}~}$$
Conclusion. La forme trigonométrique du nombre complexe $z_2=1+\i$ est : $$\boxed{~~z_2=2\left(\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)+\i\sin\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \right)~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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Exercice résolu n°3. Déterminer la forme trigonométrique du nombre complexe $z_3=-\sqrt{3}+\i$.

1er réflexe : Je calcule le module de $z_3=-\sqrt{3}+\i$. $$\abs{z_3}=\sqrt{(-\sqrt{3})^2+1^2}=\sqrt{4}=\boxed{~2~}$$
2ème réflexe : Je cherche l’argument de $z_3=-\sqrt{3}+\i$. Pour cela, je calcule $\cos\theta$ et $\sin\theta$. $$\begin{cases}
\cos\theta=\dfrac{y}{\abs{z_3}}=\dfrac{-\sqrt{3}}{2}=\boxed{~-\dfrac{\sqrt{3}}{2}~} \\
\sin\theta=\dfrac{x}{\abs{z_3}}=\boxed{~\dfrac{1}{2}~}\\ \end{cases}$$

3ème réflexe : Je consulte mon cercle trigonométrique, ou mon tableau de référence des valeurs des cosinus et sinus, en notant les signes du cosinus et du sinus pour déterminer dans quel cadran du repère je dois choisir mon angle $\theta$.

Ici, nous voyons bien que l’argument de $z_3=-\sqrt{3}+\i$ est : $$\boxed{~\theta=\dfrac{5\pi}{6}~}$$
Conclusion. La forme trigonométrique du nombre complexe $z_3=-\sqrt{3}+\i$ est : $$\boxed{~~z_3=2\left(\cos\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)+\i\sin\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) \right)~~}$$ CQFD.$\blacktriangle$

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