Continuité d’une fonction

1. La fonction « partie entière »

Définition 1.
On considère la fonction notée $E$ et appelée « partie entière » définie sur $\R$ de la manière suivante. Pour tout $x\in\R$ :
$E(x) = n$, si et seulement si, $n$ est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à $x$.
Autrement dit : Pour tout $x\in\R$ :
$$\color{brown}{\boxed{\;E(x)=n\Leftrightarrow n \leqslant x<n+1\;}}$$

Exemples.
$E(2,1) = 2$ ; $E(\pi)=3$ ; $E\left(\dfrac{7}{3}\right)=2$ ; $E(-2)=-2$ et $E(-0,5)= $ ?

Exercice résolu n°1.
1°) Construire la courbe de la fonction $E$, partie entière sur l’intervalle $[-1 ; 2,5 [$.
2°) Que constate-t-on ? Sur l’intervalle $[0;1[$ et $[1;2[$ ; puis sur les intervalles de la forme $[n;n+1[$, $n\in\Z$.
3°) Que se passe-t-il au point $1$ ? Et en tout point d’abscisse entière ?

Corrigé.
1°) Représentation graphique

Globalement, la fonction $E$ n’est pas construite « d’un seul trait », « sans lever le crayon ». On dit qu’elle est discontinue sur $\R$.
On remarque même qu’elle est discontinue en tout point d’abscisse entière. Prenons par exemple, au point d’abscisse $1$ :
– A gauche de $1$, sur l’intervalle $[0;1[$, la fonction $E$ est constante et égale à $0$ ; donc
$$\dlim_{x\to 1^{-}} E(x)=0$$
– A droite de $1$, sur l’intervalle $[1;2[$, la fonction $E$ est constante et égale à $1$ ; donc
$$\dlim_{x\to 1^{+}} E(x)=1$$
Il est clair que les deux morceaux de courbe ne se recollent pas.
Par conséquent, la fonction $E$ est discontinue en $1$.

3°) Plus généralement, la fonction $E$, partie entière, est constante sur tous les intervalles de la forme $[n;n+1[$ et elle est discontinue en tout point d’abscisse entière $n\in\Z$.

2. Continuité d’une fonction en un point

Définition 1.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$.
On dit que la fonction $f$ est continue au point $a$ si et seulement si $f(a)$ existe et la limite de $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $a$ existe et est égale à $f(a)$.
$$f\text{ est continue en }a\Leftrightarrow f(a)\text{ existe et }\dlim_{x\to a}f(x)=f(a)$$

Autrement dit :

Définition 1bis.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$ et $a\in I$. La fonction $f$ est continue au point $a$ si et seulement si $f(a)$ existe et les deux limites de $f (x)$ à gauche et à droite de $a$, existent et sont égales à $f(a)$.

3. Continuité d’une fonction sur un intervalle $I$

Définition 2.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que la fonction $f$ est continue sur l’intervalle $I$ si et seulement si $f$ est continue en tout point $a$ de $I$.

Interprétation graphique

La courbe ci-dessus représente une fonction continue sur
tout $\R$
. La courbe est tracée « d’un seul trait sans lever
le crayon
».

Fonctions continues de référence.
les fonctions affines, sont définies et continues sur tout $\R$, donc sur tout intervalle de $\R$.
Les fonctions du second degré, sont définies et continues sur tout $\R$, donc sur tout intervalle de $\R$.
La fonction racine carrée est continue sur $\left[0; +\infty\right[$.
La fonction inverse est continue sur chacun des intervalles $\left]-\infty;0\right[$ et $\left]0; +\infty\right[$. Elle n’est pas définie en $0$. On ne peut donc pas parler de continuité en $0$.

Définition 2bis.
Soit $f$ une fonction définie sur un intervalle $I$. On dit que la fonction $f$ est discontinue sur l’intervalle $I$ si, et seulement si, il existe au moins un point $a\in I$ où $f$ n’est pas continue.

Interprétation graphique

La courbe ci-dessus représente une fonction continue sur
chacun des deux intervalles $]-\infty;0[$ et $[0; +\infty[$
mais par sur $\R$. Elle est discontinue en $0$. Les limites
de f (x) à gauche et à droite existent mais sont différentes.

4. Exemples fondamentaux

Trois types de fonctions continues sont donnés par les théorèmes suivants :

Théorème 1
Toutes les fonctions polynômes sont définies et continues sur tout $\R$, donc sur tout intervalle $I$ de $\R$.

Théorème 2
Toute fonction dérivable en un point $a\in I$ est continue en $a$.
$$\text{Dérivable} \Rightarrow \text{Continue}$$
La réciproque est fausse ! Voir le chapitre sur les dérivées.

Théorème 3.
Toute fonction composée de fonctions continues en un point $a\in I$ est continue en $a$.

Exercice résolu n°2.
Soit $h$ la fonction définie sur $\R$ par : $h(x)=\sqrt{3x^2+4}$.
Démontrer que $h$ est continue sur $\R$.

Corrigé.
La fonction de référence « racine carrée » $r$ définie par : $r(x) = \sqrt{x}$, est définie et continue sur $[0; +\infty[$. La fonction polynôme $u$ définie par : $u(x) = 3 x^2+4$ est définie et continue sur $\R$. De plus, pour tout $x\in\R$ : $u(x)$ est strictement positif.
Alors, pour tout $x\in\R$ : $h(x)=\sqrt{3x^2+4}=(r \circ u)(x)$.
La fonction $h$ est définie et continue sur tout $\R$ car elle est composée de deux fonctions définies et continues sur tout $\R$.