- Propriétés de conservation des longueurs et mesures par la symétrie axiale
- Symétrique d’un cercle par une symétrie axiale
- Symétrique d’un angle par une symétrie axiale
- Exercices résolus
1. Propriétés de la symétrie axiale
Nous avons déjà vu comment construire le symétrique d’un point par rapport à une droite, à l’équerre, puis à la règle et au compas.
Pour construire le symétrique d’une figure géométrique, il suffit de construire le symétrique de chaque point remarquable de cette figure, puis relier. Pour une droite, on choisit deux points de la droite. Pour un cercle, on choisit le centre et un point du cercle et pour un angle, on choisit le sommet et un point sur chaque côté de l’angle.
Deux figures symétriques par rapport à un axe $\Delta$ sont superposables.
Propriétés n°1. (Figure 1.)
$(P_1)$. Le symétrique d’un segment $[AB]$ par rapport à une droite est un segment $[A’B’]$ de même longueur. On dit que la symétrie axiale conserve les longueurs. $$\boxed{~A’B’=AB~}$$
$(P_2)$. Le symétrique d’une droite $(d)$ par rapport à une droite est une droite $(d’)$.
$(P_3)$. Si $(d_1)$ et $(d_2)$ sont deux droites parallèles, alors leurs symétriques $(d’_1)$ et $(d’_2)$ sont aussi deux droites parallèles. On dit que la symétrie axiale conserve le parallélisme. $$\boxed{~\text{Si}~(d_1)//(d_2),~\text{Alors}~(d’_1)//(d’_2)~}$$
Propriétés n°2. (Figure 1.)
$(P_4)$. Si trois points $A$, $M$ et $B$ sont alignés (c’est-à-dire appartiennent à une même droite), alors leurs images $A’$, $M’$ et $B’$ sont alignés aussi. On dit que la symétrie axiale conserve l’alignement.
$(P_5)$. Le symétrique du milieu $M$ d’un segment $[AB]$ par rapport à une droite est égal au milieu $M’$ du segment image $[A’B’]$. $$\boxed{~\text{Si}~MA=MB,~\text{Alors}~M’A’=M’B’~}$$ On dit que la symétrie axiale conserve les milieux.
$\bullet$ Si trois points $A$, $M$ et $B$ sont alignés, c’est-à-dire ils appartiennent à une même droite. Donc, les deux droites $(AM)$ et $(AB)$ sont confondus : $(AM)=(AB)$. Donc, leurs images $A’$, $M’$ et $B’$ appartiennent à la même droite. Donc, les points $A’$, $M’$ et $B’$ sont aussi alignés.
$\bullet$ Si $M$ est le milieu du segment $[AB]$ et $A’$, $M’$ et $B’$, les symétriques de $A$, $M$ et $B$ par rapport à la droite $\Delta$, respectivement. Alors : $M’$ est le milieu du segment $[A’B’]$. $$\boxed{~\text{Si}~MA=MB~~\text{Alors}~~M’A’=M’B’~}$$
2. Symétrique d’un cercle par une symétrie axiale
Propriétés n°3. (Figure 2.)
$(P_6)$. Le symétrique d’un cercle de centre $A$ et de rayon $r$ par rapport à une droite est un cercle de centre $A’$, symétrique de $A$ et de même rayon $r$.
Pour construire le symétrique d’un cercle, on construit les symétriques du centre et d’un point du cercle. Puis on reconstruit un deuxième cercle de même rayon.
3. Symétrique d’un angle par une symétrie axiale
Propriétés n°4.
$(P_7)$. Le symétrique d’un angle $\widehat{xAy}$ par rapport à une droite est un angle $\widehat{x’A’y’}$ de même mesure. $\boxed{~\widehat{xAy}=\widehat{xAy}~}~~\text{et}~~\boxed{~\widehat{BAC}=\widehat{B’A’C’}~}$$
Pour construire le symétrique d’un angle, on construit les symétriques du sommet de l’angle et d’un point sur chaque côté de l’angle… Puis on reconstruit un deuxième angle de même mesure avec ces points.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Construire un carré $ABCD$ de côté 4cm. Et placer un pont $E$ à l’intérieur du carré $ABCD$. La droite $(DE)$ traverse le carré $ABCD$. Construire le symétrique de $ABCD$ par rapport à l’axe $(DE)$.