Nous connaissons nos identités remarquables qui nous simplifient les calculs dans $\R$. En particulier, l’identité remarquable numéro 3, $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
Au Collège et au début du Lycée, nous appelions ces deux facteurs $(a+b)$ et $(a-b)$ les quantités conjuguées.
Cette notion ou ce concept se généralise aux nombres complexes et qu’on définit de la même manière. Elle nous simplifiera beaucoup les calculs dans $\C$. On parle alors de conjugué d’un nombre complexe $z$. Nous allons voir le comportement de toutes les opérations sur le conjugué.
1. Conjugué d’un nombre complexe
Définition 1.
Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $z=a+\i b$. Alors, le nombre complexe noté $\overline{z}$ (lire $z$-barre) et défini par $$\boxed{~\overline{z}=a+\i b~}$$
s’appelle le nombre complexe conjugué de $z$ ou simplement le conjugué de $z$
Remarques
Dans le groupe nominal « le nombre complexe conjugué », le mot « conjugué » est un adjectif qualificatif. Désormais, « le conjugué » désigne le nom d’un nombre complexe conjugué.
Exemples
- $\overline{2-3\i}=2+3\i$.
- $\overline{-2+\i \sqrt{2}}=-2-\i \sqrt{2}$.
- $\overline{2}=2$.
- $\overline{3\i}=-3\i$.
2. Premières propriétés du conjugué
Propriétés 1.
Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $z=a+\i b$, alors :
$(P_1)$ Le conjugué du conjugué de $z$ est évidemment égal à $z$.
$\begin{array}{ll}
(P_1) &\boxed{~\overline{\overline{z}}=z~}\\
(P_2) &\boxed{~z\overline{z}=\overline{z}z=a^2+b^2~}~\text{et}~\boxed{~z\overline{z}\in\R^+~}~\text{(important)}\\
(P_{3a})&\boxed{~z+\overline{z}=2\Re(z)~}\\
(P_{3b})&\boxed{~z-\overline{z}=2\i~\Im(z)~}\\
(P_4)& z~\text{est un réel (ssi)}~~\boxed{~\overline{z}=z~}\\
(P_5)& z~\text{est un imaginaire pur (ssi)}~~\boxed{~\overline{z}=-z~}\end{array}$
Les démonstrations sont immédiates.
$\bullet$ Démonstration de la propriété $(P_2)$ :
Soit $z$ un nombre complexe qui s’écrit sous la forme algébrique $z=a+\i b$, alors :
$z\overline{z}=(a+\i b)(a-\i b)=aa-a\i b+\i ba-\i b\times\i b=a^2-\i\not ab +\i\not ba-\i^2b^2 =a^2+b^2$.
Opérations sur le conjugué
Propriétés 2.
Soient $z$ et $z’$ les deux nombres complexes et $n$ un entier relatif, alors :
$(P_6)$ : Le conjugué de la somme est égal à la somme des conjugués.
$\qquad\quad\boxed{~\overline{z+z’}=\overline{z}+\overline{z’}~}$
$(P_7)$ : Le conjugué du produit est égal au produit des conjugués.
$\qquad\quad\boxed{~\overline{zz’}=\overline{z}\times\overline{z’}~}$
$(P_8)$ : Le conjugué d’une puissance est égal à la puissance du conjugué.
$\qquad\quad\boxed{~\overline{z^n}=(\overline{z})^n~}$
$(P_9)$ : Le conjugué de l’inverse est égal à l’inverse du conjugué.
$\qquad\quad\boxed{~\overline{\left(\dfrac{1}{z}\right)}=\dfrac{1}{\overline{z}}~}$
$(P_{10})$ : Le conjugué du quotient est égal au quotient des conjugués.
$\qquad\quad\boxed{~\overline{\left(\dfrac{z}{z’}\right)}=\dfrac{\overline{z}}{\overline{z’}}~}$ :
Démonstrations
Remarque très importante
Propriétés 1.
Soient $z$ un nombre complexe non nul, qui s’écrit sous la forme algébrique : $z=a+\i b$. Alors $\overline{z}=a-\i b$ et : $$\boxed{~~z\overline{z}=\overline{z}z=a^2+b^2~~}$$ Il est clair que $$z\not=0 \Leftrightarrow \overline{z}\not=0~~\text{} $$ De plus : $\dfrac{1}{z}=\dfrac{1\times\overline{z}}{z\times\overline{z}}=\dfrac{a-\i b}{a^2+b^2}$
En effet, d’après l’identité remarquable IRn°3, on a :
$z\overline{z}=\overline{z}z=(a-\i b)(a+\i b)=a^2-(\i b)^2=a^2-\i^2b^2=a^2+b^2.$ Attention ! Ici c’est $a^2+b^2$ à cause du $\i^2=-1$.
2. Exercices résolus
Exemple résolu n°1.
Déterminez les conjugués des nombres complexes suivants et donner le résultat sous la forme algébrique.
$z_1=3+2\i$ ; $z_2=(2-3\i)(3+2\i)$ ; $\dfrac{(4+8\i)}{1+3\i}$.
Exemple résolu n°2.
Déterminez les conjugués des nombres complexes en fonction de $z$ et $\overline{z}$
$\bullet~~Z_1=2z+3-5\i$ ;
$\bullet~~Z_2=2\i z+3(\overline{z})^2$ ;
$\bullet~~Z_3=\dfrac{z+2}{\overline{z}+2\i}$.
Exemple résolu n°3.
Déterminez l’ensemble des nombres complexes tels que $Z=2z+\overline{z}$ soit
(a) un nombre réel.
(b) un imaginaire pur.