Les nombres relatifs jouent un rôle très important dans la modélisation mathématique de situations concrètes. La comparaison des nombres relatifs est un élément important dans ce chapitre.

1. Activité

Modèle : On prend l’ascenseur.
Sens croissant = L’ascenseur monte.
Sens décroissant = L’ascenseur descend.
Rez-de-Chaussée = étage $0$.
Le 1er étage = étage $+1$. Le 2ème étage = étage $+2$. etc.
Le 1er soussol = étage $-1$. Le 2ème soussol = étage $-2$. etc.

Exemple résolu n°1.
Aline et Brayan ne se trouvent pas au même étage dans leur immeuble. Écrire une inégalité qui permet de comparer les niveaux de leurs positions dans l’immeuble.
1°) Aline est au 1er étage et Brayan au 5ème étage.
2°) Aline est au 1er étage et Brayan au 3ème soussol.
3°) Aline est au 2ème soussol et Brayan au 3ème soussol.

Le sens croissant = du plus petit au plus grand.
Le sens décroissant = du plus grand au plus petit.
1°) Le niveau du 1er étage est en dessous de celui du 5ème étage. Donc : $$\boxed{~1<5~}$$
2°) Le niveau du 1er étage est au-dessus de celui du 3ème soussol. Donc : $$\boxed{~+1>-3~}$$
3°) Le niveau du 2ème soussol est au-dessus de celui du 3ème soussol. Donc : $$\boxed{~-2>-3~}$$
$\flushright\blacktriangle$

2. Règles de comparaison des nombres relatifs

Définitions 1.
$\bullet$ Ranger des nombres relatifs dans le sens croissant, c’est les écrire du plus petit au plus grand. $2$ est plus petit que $3$. On écrit $$\boxed{~2<3~}$$ et on lit « $2$ est inférieur à $3$ ».

Définitions 2.
$\bullet$ Ranger des nombres relatifs dans le sens décroissant, c’est les écrire du plus grand au plus petit. $5$ est plus grand que $3$. On écrit $$\boxed{~5>3~}$$ et on lit « $5$ est supérieur à $3$ ».

Construisez une droite graduée pour ranger ranger des nombres relatifs dans un sens ou dans l’autre.
Les nombres relatifs sont rangés comme les points d’une droite graduée dont ils sont les abscisses.

Règle n°1. (Comparaison à zéro)
$\bullet$ Un nombre positif est un nombre supérieur à zéro.
$\bullet$ Un nombre négatif est un nombre inférieur à zéro.

Exemple : $+3,5>0$ et $-2,6<0$.

Règle n°2.
Si deux nombres relatifs sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.
Autrement dit : Un nombre négatif quelconque est toujours plus petit que tout nombre positif.

Exemple : $-5,4<+3$.

Règle n°3.
$\bullet$ Deux nombres positifs sont rangés dans l’ordre naturel. $2<5$.

Exemple : $+5,2>+3,5$ car $+5,2=5,2$ et $+3,5=3,5$.

Règle n°4.
$\bullet$ Si deux nombres relatifs sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro. $-6<-5$.
Autrement dit : Si deux nombres relatifs sont négatifs, le plus petit est celui qui est le plus éloigné de zéro sur la droite graduée.

Exemples : $-6<-5$ et $-3 >-7$.

4. Exercices résolus

Exercice n°1.
Comparer les nombres relatifs suivants et justifier votre réponse.
a) $+4,5$ et $+3$ ;
b) $+2$ et $-4,5$ ;
c) $-0,6$ et $-1,5$.

Comparer les nombres relatifs, c’est déterminer le plus petit du plus grand.
a) $+4,5>+3$, car les nombres positifs sont rangés dans l’ordre naturel.

b) $+2>-4,5$, car si deux nombres relatifs sont de signes contraires, le plus petit est le nombre négatif.On peut écrire : $$-4,5<+2$$ ou encore $+2>-4,5$.

c) $-0,6>-1,5$, car si deux nombres relatifs sont négatifs, le plus petit est celui qui a la plus grande distance à zéro, ou encore le plus grand est celui qui a la plus petite distance à zéro.

Exercice n°2.
Ranger des nombres relatifs dans le sens croissant :
$+4,5$, $+3$, $-2$, $-4,5$, $-6$ et $+0,5$.

Le sens croissant = du plus petit au plus grand.
Les nombres négatifs sont tous inférieurs aux nombres positifs.
J’identifie d’abord les nombres négatifs. je les entoure au crayon par exemple. Ici je les ai mis en rouge. $+4,5$, $+3$, $-2$, $-4,5$, $-6$ et $+0,5$.
Je commence par celui qui a la plus grande distance à zéro. On a alors : $-6<-4,5<-2$.
Les nombres positifs (en bleu) sont rangés dans l’ordre naturel. On a alors : $+0,5<+3<+4,5$.
En regroupant les deux blocs, on obtient : $$\boxed{~\color{brown}{-6<-4,5<-2}<\color{blue}{+0,5<+3<+4,5~}}$$