Nous avons vu (angles correspondants) que si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles et coupées par une droite sécante $\Delta$, alors les angles correspondants sont de même mesure.

Dans cette page, nous étudions la propriété réciproque et sa contraposée. A savoir,

Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une droite sécante $\Delta$ en formant deux angles correspondants de même mesure, peut-on affirmer ou non que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles ? La réponse est OUI.

D’autre part, si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une droite sécante $\Delta$ en formant deux angles correspondants de mesures différentes, peut-on affirmer ou non que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles ? La réponse est OUI.

1. Comment justifier que deux droites sont parallèles ?

Figure 1.

Propriété n°1. (Propriété réciproque).
Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une droite sécante $\Delta$ en deux points $A$ et $B$ respectivement en formant deux angles correspondants de même mesure, Alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
Autrement dit (Figure 1.) :
Si $\boxed{~\widehat{a_1}=\widehat{b_1}}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_2}=\widehat{b_2}~}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_3}=\widehat{b_3}~}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_4}=\widehat{b_4}~}$ ; Alors $\boxed{~d_1 // d_2~}$

2. Comment justifier que deux droites ne sont pas parallèles ?

Propriété n°2. (Propriété contraposée).
Si deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par une droite sécante $\Delta$ en deux points $A$ et $B$ respectivement en formant deux angles alternes-internes de mesures différentes, Alors les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ ne sont pas parallèles.
Autrement dit (Figure 1.) :
Si $\boxed{~\widehat{a_1}\not=\widehat{b_1}}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_2}\not=\widehat{b_2}~}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_3}\not=\widehat{b_3}~}$ ou Si $\boxed{~\widehat{a_4}\not=\widehat{b_4}~}$ ; Alors $\boxed{~d_1 //\!\!\!\!\!\diagdown~d_2~}$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n° 1.
1°) Avec les données indiquées dans la figure 2 ci-dessous, déterminer si les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles ou non ? Justifiez votre réponse.

Figure 2.

a) Calcul de la mesure de $\widehat{b_3}$.
On sait que $\widehat{b_4}=132°$.
Or, les angles $\widehat{b_4}$ et $\widehat{b_3}$ sont adjacents et forment un angle plat. Donc, ils sont supplémentaires. Et d’après le cours, on obtient : $$\widehat{b_3}+\widehat{b_4}=180°$. Donc, $48°+\widehat{b_3}=180°$. Et par soustraction, on obtient : $$\boxed{~\widehat{b_3}=48°~}$$

b) Les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont-elles parallèles ?
On sait que $\widehat{a_3}=48°$ et $\widehat{b_3}=48°$.
Donc, les deux droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont coupées par la sécante $\Delta$ en formant deux angles correspondants $\widehat{a_1}$ et $\widehat{a_3}$ de même mesure.
Donc, d’après le cours, on peut affirmer que les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.
CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu n° 2.
Avec les données indiquées dans la figure 3 ci-dessous, peut-on justifier si les droites $(xx’)$ et $(yy’)$ sont parallèles ou non ? Justifiez votre réponse.

Figure 3.

Je remarque d’abord que les angles dont on connaît les mesures dans cette figure ne sont ni alternes-internes, ni correspondants. Mais on peut calculer un angle pour utiliser une propriété sur les angles alternes-internes ou correspondants.
Je commence par calculer la mesure de $\widehat{x’Az}$ et j’utilise les angles correspondants.

a) Calcul de $\widehat{x’Az}$.
On sait que $\widehat{xAz}=115°$ et les deux angles $\widehat{xAz}$ et $\widehat{x’Az}$ sont adjacents et forment un angle plat. Ils sont donc supplémentaires.
Donc : $$\widehat{xAz}+\widehat{x’Az}=180°$$ Donc : $$115°+\widehat{x’Az}=180°$$ Ce qui donne : $$\widehat{x’Az}=180°-115°$$ D’où : $$\boxed{~\widehat{x’Az}=65°~}$$

b) Les droites $(xx’)$ et $(yy’)$ sont-elles parallèles ?
On sait que $\widehat{y’Bz}=75°$ et $\widehat{x’Az}=65°$. Donc :
$$\boxed{~\widehat{y’Bz}\not=\widehat{x’Az}~}$$
D’autre part, les deux droites $(xx’)$ et $(yy’)$ sont coupées par une sécante $\Delta$ en formant deux angles correspondants de mesures différentes, Donc, les droites $(xx’)$ et $(yy’)$ ne sont pas parallèles.
Conclusion. Les droites $(xx’)$ et $(yy’)$ ne sont pas parallèles.
CQFD. $\blacktriangle$