Déterminer un dénominateur commun, c’est chercher un multiple commun aux deux dénominateurs !
1. Étude d’un exemple
Exemple 2. Déterminer un dénominateur commun à $\dfrac{7}{12}$ et $\dfrac{3}{8}$.
a) 1ère méthode : la plus rapide, mais pas la meilleure !
Le produit des deux dénominateurs. $D=d\times d’$.
Prendre le produit des deux dénominateurs. Ici, $12\times8=96$
$96$ est un dénominateur commun. On aura alors :
$\bullet\quad \dfrac{7}{12}=\dfrac{7\times8}{12\times8}=\boxed{~\dfrac{56}{96}~}$
$\bullet\quad \dfrac{3}{8}=\dfrac{3\times12}{8\times12}=\boxed{~\dfrac{36}{96}~}$
Cela permet de comparer facilement les fractions.
Pour les additionner, ou les soustraire, on obtiendra des fractions qu’il faudra encore simplifier.
$\dfrac{7}{12}+ \dfrac{3}{8}= \dfrac{56}{96}+\dfrac{36}{96}=\dfrac{56+36}{96}=\boxed{~\dfrac{92}{96}~}$
Cette fraction doit être simplifiée !!
b) 2ème méthode : Avec les multiples. La plus pratique.
Chercher le plus petit dénominateur commun.
Pour cela, il faut chercher le plus petit multiple commun aux deux dénominateurs !
C’est nécessairement plus petit que le produit des deux dénominateurs.
C’est la méthode de base, utile pour les petits nombres.
Étapes :
Écrire plusieurs multiples de chaque nombre, en écrivant sa table ;
Trouver le plus petit multiple commun.
Table de $12$ : $12$ ; $\boxed{~24~}$ c’est aussi un multiple de $8$.
Table de $8$ : $8$ ; $16$ ; $\boxed{~24~}$ c’est aussi un multiple de $12$.
Par conséquent $24$ est le plus petit dénominateur commun.
On aura alors :
$\bullet\quad \dfrac{7}{12}=\dfrac{7\times2}{12\times2}=\boxed{~\dfrac{14}{24}~}$
$\bullet\quad \dfrac{3}{8}=\dfrac{3\times3}{8\times3}=\boxed{~\dfrac{9}{24}~}$
Cela permet de comparer facilement les fractions.
c) 3ème méthode. La décomposition en facteurs premiers pour trouver plus petit commun multiple (PPCM) aux deux dénominateurs (à partir de la 3ème).
Étapes :
Décomposer les deux nombres en produits de facteurs premiers.
Pour chaque facteur, prendre l’exposant le plus grand
Multiplier les facteurs avec ces exposants.
Exemple : Trouver le PPCM de 12 et 8
- $12=2\times2\times3= 2^2\times 3^1$.
- $8=2\times2\times2 = 2^3\times 3^0$.
On prend :
- $2^\text{max(2,3)}=2^3$
- $3^\text{max(1,0)}=3^1$
Donc : PPCM($12,8$)=$2^3\times3^1=8×3=\boxed{~24~}$.
Par conséquent, $24$ est le plus petit dénominateur commun.
2. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
1°) Déterminer un dénominateur commun entre $\dfrac{7}{20}$ et $\dfrac{5}{12}$
2°) Comparer ces deux fractions.