Calcul des primitives

Soit $f$ une fonction définie et continue su un intervalle $I$ de $\R$. Nous disposons, en classe de Terminale, spécialité mathématiques, de deux méthodes pour calculer les primitives de $f$. D’autres méthodes existent et seront étudiées et développées dans l’enseignement supérieur. Nous en donnons un aperçu dans certains exercices avec démarche.

  1. Soit directement, par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions usuelles.
  2. Soit par lecture inverse du tableau des dérivées des fonctions composées.
  3. Soit, par transformation de l’expression de $f$ pour se ramener aux cas précédents.

1. Primitives des fonctions usuelles

1.1. Tableau des primitives des fonctions usuelles

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ où elles sont continues.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{Fonctions usuelles}&\text{Primitives}\\ \hline
0 & k \\ \hline
a & ax+C \\ \hline
x & \dfrac{x^2}{2}+C \\ \hline
x^2 &\dfrac{x^3}{3}+C \\ \hline
x^3 &\dfrac{x^4}{4}+C \\ \hline
x^n, n\in\Z,\\ n\not=-1 &\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C \\ \hline
\dfrac{1}{\sqrt{x}} &2\sqrt{x}+C \\ \hline
\dfrac{1}{x^2} & -\dfrac{1}{x}+C \\ \hline
\e^x &\e^x+C \\ \hline
\e^x &\e^x+C \\ \hline
\dfrac{1}{x}, x>0 &\ln x+C \\ \hline
\sin x & -\cos x \\ \hline
\cos x & \sin x \\ \hline\end{array}$$

1.2. Tableau des primitives des fonctions composées

Soient $u$ et $v$ deux fonctions définies sur un intervalle $I$ où elles sont continues.

$$\begin{array}{|c|c|}\hline
\text{Fonctions composées}&\text{Primitives}\\ \hline
u’+v’ & u+v+C \\ \hline
ku’ & ku+C \\ \hline
u’u & \dfrac{u^2}{2}+C \\ \hline
u’u^2 &\dfrac{u^3}{3}+C \\ \hline
u’u^3 &\dfrac{u^4}{4}+C \\ \hline
u’u^n, n\in\Z,\\ n\not=-1 &\dfrac{u^{n+1}}{n+1}+C \\ \hline
\dfrac{u’}{\sqrt{u}} &2\sqrt{u}+C \\ \hline
\dfrac{v’}{v^2} & -\dfrac{1}{v}+C \\ \hline
u’\e^u &\e^u+C \\ \hline
\dfrac{u’}{u}, u >0 &\ln u+C \\ \hline
u’\sin u & -\cos u +C\\ \hline
u’\cos u & \sin u+C \\ \hline\end{array}$$

4.1. Primitive d’une fonction continue

Grâce au calcul intégral, nous allons démontrer que toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$, admet des primitives.

Théorème 3.
Soit $f$ une fonction définie, continue et positive sur un intervalle $[a;b]$. Alors, la fonction $F$ définie pour tout $x\in[a;b]$ par : $F(x)=\int_a^x f(t)\d t$ est dérivable sur $[a;b]$, et a pour dérivée $f$, c’est-à-dire : pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=f(x)$.
Autrement dit : La fonction $F$ est la primitive de $f$ sur $I$, qui s’annule en $a$.

Démonstration.

Nous allons présenter ici le principe de la démonstration de ce thoérème dans le cas où $f$ est positive et croissante.

Soit $f$ une fonction définie, continue, positive et croissante sur un intervalle $[a;b]$.
Soit $x\in[a;b]$. Montrons que $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

1ère étape : Soit $h>0$.

Cherchons un encadrement du taux d’accroissement : $$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}$$
$F(x0+h)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0+h$.
$F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe $C_f$ entre $a$ et $x_0$.
Donc $F(x_0+h)-F(x_0)$ désigne l’aire sous la courbe entre $x_0$ et $x_0+h$. En effet, $F(x_0+h)-F(x_0)=\text{Aire}(ABFC)$.
En effet, $$\begin{array}{rcl}
\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t-\int_a^{x_0} f(t)\d t\\
&=& \int_a^{x_0+h} f(t)\d t+\int_{x_0}^a f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^a f(t)\d t+\int_a^{x_0+h} f(t)\d t\\
&=&\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t\\
\end{array}$$
d’après la relation de Chasles. Par conséquent :
$$\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}=\int_{x_0}^{x_0+h} f(t)\d t$$

Comme $h>0$, $F(x_0+h)-F(x_0)$ est compris entre les aires des deux rectangles de base $h=AB$ et de hauteurs $f(x_0)=AC$ et $f(x_0+h)=BF$. Ce qui donne l’encadrement suivant : $$AB\times AC\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant AB\times BF$$
ou encore : $$h\times f(x_0)\leqslant F(x_0+h)-F(x_0)\leqslant h\times f(x_0+h)$$

En divisant par $h>0$, on obtient : $$f(x_0)\leqslant \dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant f(x_0+h)$$ Par suite, d’après le théorème de comparaison, par passage à la limite, on obtient :
$$f(x_0)\leqslant \dlim_{h\to0}\dfrac{F(x_0+h)-F(x_0)}{h}\leqslant \dlim_{h\to0}f(x_0+h)$$
Or, par hypothèse, la fonction $f$ est continue sur $[a;b]$, donc, en particulier en $x_0$. Donc :
$\dlim_{h\to0}f(x_0+h)=f(x_0)$. Ce qui donne : $$f(x_0)\leqslant F'(x_0)\leqslant f(x_0)$$ Par conséquent : La fonction $F$ est dérivable à droite en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$.

2ème étape : Soit $h<0$. Une démonstration analogue montre que la fonction $F$ est dérivable à gauche en $x_0$ et $F'(x_0)=f(x_0)$

Conclusion : La fonction $F$ est dérivable en $x_0$ et $F'(x_0 )=f(x_0)$.

Théorème 5.
Toute fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$ admet des primitives sur cet intervalle.

Démonstration.

Soit $f$ une fonction définie et continue sur un intervalle $I$ de $\R$.
Montrons que $f$ admet des primitives sur tout intervalle fermé borné $[a;b]$ contenu dans $I$.
Soit $a$, $b\in I$ tels que $a<b$. On admet que la fonction a un minimum $m$ sur $[a;b]$.
La fonction $g:x\mapsto g(x)=f(x)-m$ est définie, continue et positive sur $[a;b]$.
Donc, d’après le théorème 4, la fonction $g$ admet des primitives. Soit $G$ une primitive de $g$ sur l’intervalle $[a;b]$.

Donc, pour tout $[a;b]$ : $G'(x)=g(x)$, donc $G'(x)=f(x)-m$.
Mais alors, pour tout $x\in[a;b]$ : $f(x)=G'(x)+m$.
On définit une nouvelle fonction $F$ sur $[a;b]$ par : $F(x)=G(x)+mx$.
Cette fonction $F$ est dérivable sur $[a;b]$ comme composée de fonctions dérivables. De plus, pour tout $x\in[a;b]$ : $F'(x)=G'(x)+m=f(x)$. Par conséquent : $F$ est une primitive de $f$ sur $[a;b]$. CQFD $\blacktriangle$

Remarque

Certaines fonctions, comme la fonction $f : x\mapsto e^{-x^2}$, sont continues sur $\R$ donc admettent des primitives sur $\R$, mais n’ont pas de primitive « explicite », comme composée d’un nombre finie de fonctions usuelles. Voir plus loin [Enseignement Supérieur].