Calcul de la médiane à l’aide du théorème de Thalès

1.1. Rappel. Médiane et polygone des effectifs cumulés croissants

Propriété 1. (Très importante).
On considère une série statistique à une variable quantitative, dont les valeurs sont
groupées en $k$ classes $[x_0;x_1[$ ; $[x_1;x_2[$;$\ldots$ ; $[x_{k−1};x_k[$; affectées des effectifs
partiels $n_1$ , $n_2$,$\ldots$, $n_k$ ou des fréquences $f_1$, $f_2$, $\ldots$, $f_k$ respectivement
$\quad$1°) Si on construit le polygone des effectifs cumulés croissants (ECC), alors la médiane est la valeur qui correspond à $50\%$ de l’effectif total, c’est-à-dire $\dfrac{N}{2}$.
$\quad$2°) Si on construit le polygone des fréquences cumulées croissantes (FCC), alors
la médiane est la valeur qui correspond à une FCC${}=0,5$ ou FCC${}=50\%$.

Propriété 2. (Très importante).
$\quad$1°) La médiane d’une série statistique est égale à l’abscisse du point d’intersections du polygone des effectifs cumulés croissants et du polygone des effectifs cumulés décroissants.
$\quad$2°) La médiane d’une série statistique est égale à l’abscisse du point d’intersections du polygone des fréquences cumulées croissantes et du polygone des fréquences cumulées décroissantes.

2. Exemples modèles

Exercice résolu n°2.
L’accueil téléphonique d’une entreprise a reçu 120 appels entre 9h et 13h, répartis comme suit : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}} \hline
\text{Tranche horaire} &\text{9h-10h} &\text{10h-11h} &\text{11h-12h} &\text{12h-13h} &\text{Total} \\ \hline
\text{Nombre d’appels} & 25 & 45 & 30 & 20 & 120\\ \hline \end{array}$$
On suppose que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
$\quad$1°) Construire le polygone des effectifs cumulés croissants (ECC) de cette série.
$\quad$2°) Déterminer la médiane de la série par lecture graphique. Donner votre résultat en
heures et minutes.
$\quad$3°) Peut-on faire un calcul direct, en supposant que les appels sont uniformément répartis dans chaque tranche horaire.
$\quad$4°) Reprendre l’exercice en utilisant les fréquences cumulées croissantes.

Antécédent de 50% de l’effectif total

Corrigé.
1°) On calcule les Effectifs CC dans un tableau : $$\begin{array}{|l|5*{|c|}}\hline
\text{Heure jusqu’à} &\text{9} &\text{10h} &\text{11h} &\text{12h} &\text{13h}\\ \hline
\text{Effectifs CC des appels}&0 & 25 & 70 & 100 & 120\\ \hline \end{array}$$
A $10$ heures, on n’a pas encore atteint la moitié de l’effectif total et à $11$ heures, on vient de le dépasser. Donc : $\boxed{\;\;Me∈[10,11]\;\;}$.
On dit que l’intervalle $[10;11]$ est la classe médiane de la série.

2°) L’effectif total est égal à $120$. Donc la moitié de l’effectif est égale à $60$.
Par lecture graphique. La médiane est l’antécédent de $60$. Ce qui donne environ : $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{2}}Me=10,8\;\;}$$
Pour convertir ce résultat en heures et minutes, on convertit les décimales en minutes en faisant un tableau de proportionnalité.
$1$ heure correspond à $60$ min. Donc $1$ min $=\dfrac{1}{60}$~h.
$0,8$ heure correspond à $x$ min.
On écrit l’égalité des produits en croix. Ce qui donne : $$x\times1=0,8\times60$$ On obtient $x=48$ minutes.
Conclusion. La médiane de cette série est égale à $$\boxed{\phantom{\dfrac{1}{2}}Me = 10~h~48~\text{min}\;\;}$$

Théorème de Thalès

3°) Pour déterminer la médiane par un calcul direct, on utilise le théorème de Thalès.
On pose $Me=m$. Dans le repère orthogonal $(O~;~I~;~J)$, on considère le triangle $ABC$ défini par les points $A$, $B$ et $C$ correspondant au ECC comme suit :
$$A(10 ; 25),\quad B(11 ; 70)\quad\text{et}\quad C(11 ; 25)$$
Le point $M$ qui correspond à la médiane a pour coordonnées :
$$M(m ; 60)\quad\text{et}\quad N(m ; 25)$$
Dans le triangle $ABC$, on a : $M\in[AB]$, $N\in[AC]$ et les droites $(MN)$ et $(BC)$ sont parallèles à l’axe des ordonnées.
Donc, d’après le théorème de Thalès, on a égalité des rapports :
$$\dfrac{AM}{AB} =\dfrac{AN}{AC} =\dfrac{MN}{BC}$$
Je garde les deux derniers rapports : $$\dfrac{AN}{AC} = \dfrac{MN}{BC}$$
Ce qui donne : $$\dfrac{m−10}{11−10} = \dfrac{60−25}{70−25}$$
donc : $$\dfrac{m−10}{1} = \dfrac{35}{45}$$
Donc : $$m=10+\dfrac{35}{45}$$
ou encore : $$m= \dfrac{485}{45}=10,77778\ldots\approx10,8$$
Conclusion. La médiane de cette série est égale à $$\boxed{\;\;\phantom{\dfrac{1}{1}} Me\approx 10~h~48\text{min}\;\
Conclusion. La médiane de cette série est égale à $$\boxed{\;\;\phantom{\dfrac{1}{1}} Me\approx 10~h~48\text{min}\;\;}$$
On retrouve une valeur exacte de la médiane qui, arrondie au dixième, donne la même
valeur que le résultat obtenu par lecture graphique ! Formidable !
CQFD.$\blacktriangle$

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