1. Addition et soustraction de fractions de même dénominateur

Propriété 1.
1°) Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de même dénominateur, il faut additionner (ou soustraire) les numérateurs et conserver le dénominateur commun.
Autrement dit : pour tous nombres relatifs $a$, $B$ et $c$, avec $B\neq 0$, on a :
$$\begin{array}{c}\boxed{~\dfrac{a}{B}+\dfrac{c}{B}= \dfrac{a+c}{B}~}\\
\boxed{~\dfrac{a}{B} -\dfrac{c}{B}= \dfrac{a-c}{B}~}\\ \end{array}$$

Exemple 1. Calculer $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}$ et $\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5}$.

$\bullet\quad\dfrac{3}{5} + \dfrac{1}{5} = \dfrac{3+1}{5}=\boxed{~\dfrac{4}{5}~}$
$\bullet\quad\dfrac{3}{5} – \dfrac{1}{5} = \dfrac{3-1}{5}=\boxed{~\dfrac{2}{5}~}$.

2. Addition et soustraction de fractions de dénominateurs différents

2.1. Comment déterminer un dénominateur commun ?

2.2. Addition et soustraction de fractions de dénominateurs différents

Propriété 2.
Pour additionner (ou soustraire) deux fractions de dénominateurs différents, il faut chercher d’abord un dénominateur commun, puis appliquer la règle n°1.

Exemple 3. Calculer $\dfrac{7}{12}+\dfrac{3}{20}$ et $\dfrac{7}{12}-\dfrac{3}{20}$

Le plus petit dénominateur commun est $60$.
$\bullet\quad \dfrac{7}{12}+\dfrac{3}{20} = \dfrac{7\times5}{12\times5}+\dfrac{3\times3}{20\times3}=\dfrac{35}{60}+\dfrac{9}{60}=\boxed{~\dfrac{44}{60}~} $.
Fraction qu’il faut encore simplifier !
De même :
$\bullet\quad \dfrac{7}{12}-\dfrac{3}{20} = \dfrac{7\times5}{12\times5}-\dfrac{3\times3}{20\times3}=\dfrac{35}{60}-\dfrac{9}{60}=\boxed{~\dfrac{24}{60}~} $.
Fraction qu’il faut encore simplifier !

Exercices résolus

Exercice résolu 1.
Dans chacun des cas suivants, effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme irréductible.
1°) $A=\dfrac{7}{10}+\dfrac{4}{10}$.
2°) $B=\dfrac{7}{10}-\dfrac{4}{10}$.

Corrigé.
1°) $A=\dfrac{7}{10}+\dfrac{4}{10}= \dfrac{7+4}{10}$
Donc $\color{brown}{A=\dfrac{11}{10}}$, qui est une fraction irréductible.

2°) $B=\dfrac{7}{10}-\dfrac{4}{10}= \dfrac{7-4}{10}$
Donc $\color{brown}{A=\dfrac{3}{10}}$, qui est une fraction irréductible.
CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu 2.
Dans chacun des cas suivants, effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme irréductible.
1°) $A=\dfrac{7}{10}+\dfrac{4}{5}$.
3°) $B=\dfrac{5}{8}-\dfrac{7}{12}$.
4°) $D=3-\dfrac{5}{4}$.

Corrigé.
1°) $$\begin{array}{l}
A=\dfrac{7}{10}+\dfrac{4}{5}= \dfrac{7}{10}+\dfrac{4\times2}{5\times2}\\
A=\dfrac{7}{10}+\dfrac{8}{10}=\dfrac{7+8}{10}\\
A=\dfrac{15}{10}\\ \end{array}$$
Cette fraction n’est pas irréductible. $5$ est un diviseur commun au numérateur et au dénominateur. On simplfie :
$$\begin{array}{l}
A=\dfrac{3\times\not5}{2\times\not5}\\ \end{array}$$
Donc $\color{brown}{\boxed{~A=\dfrac{3}{2}~}}$, qui est une fraction irréductible.

2°) $B=\dfrac{5}{8}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{3}{8} -\dfrac{7}{12}$.
On réduit les deux fractions au même dénominateur.
$B=\dfrac{5\times 3}{8\times 3} -\dfrac{7\times 2}{12\times 2} = \dfrac{15}{24}-\dfrac{14}{24}=\dfrac{1}{24}$.
Par conséquent :
$\color{brown}{\boxed{~B=\dfrac{1}{24}~}}$, qui est une fraction irréductible.

4°) $C=3-\dfrac{5}{4}$. Ici, il faut d’abord convertir le nombre entier $3$ en une fraction avec un $4$ au dénominateur.
$$\begin{array}{l}C=3-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3}{1}-\dfrac{5}{4}\\
C=\dfrac{3\times 4}{1\times 4}-\dfrac{5}{4}\\ \end{array}$$ Ce qui donne : $C=\dfrac{12}{4} -\dfrac{5}{4} = \dfrac{12-5}{4}=\dfrac{7}{4}$.
Par conséquent :
$\color{brown}{\boxed{~A=\dfrac{3}{2}~}}$, qui est une fraction irréductible.
CQFD.$\blacktriangle$

Exercice résolu n°3. Avec des nombres relatifs
Dans chacun des cas suivants, effectuer les opérations suivantes et donner le résultat sous la forme irréductible.
1°) $A=\dfrac{-7}{10}+\dfrac{4}{10}$.
2°) $B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{4}{5}$.
3°) $C=-\dfrac{-3}{8}-\dfrac{7}{12}$.
4°) $D=-3-\dfrac{5}{4}$.

Corrigé.
1°) $A=\dfrac{-7}{10}+\dfrac{4}{10}= \dfrac{-7+4}{10}$
Donc $\color{brown}{A=\dfrac{-3}{10}}$, qui est une fraction irréductible.

2°) $B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{4}{5}= \dfrac{-7}{10}-\dfrac{4\times 2}{5\times 2}$
$\quad B=\dfrac{-7}{10}-\dfrac{8}{10}=\dfrac{-7-8}{10}=\dfrac{-15}{10}$.
On simplifie par $5$ et on obtient : $\color{brown}{B=\dfrac{-3}{2}}$, qui est une fraction irréductible.

3°) $C=-\dfrac{-3}{8}-\dfrac{7}{12}=\dfrac{3}{8} -\dfrac{7}{12}$.
On réduit les deux fractions au même dénominateur.
$C=\dfrac{3\times 3}{8\times 3} -\dfrac{7\times 2}{12\times 2} = \dfrac{9}{24}-\dfrac{14}{24}=\dfrac{-5}{24}$.
Par conséquent :
$\color{brown}{C=\dfrac{-5}{24}}$, qui est une fraction irréductible.

4°) $D=-3-\dfrac{5}{4}$. Ici, il faut d’abord convertir le nombre entier $3$ en une fraction avec un $4$ au dénominateur.
$D=-\dfrac{3}{1}-\dfrac{5}{4}=\dfrac{3\times 4}{1\times 4}-\dfrac{5}{4}$. Ce qui donne : $D=-\dfrac{12}{4} -\dfrac{5}{4} = \dfrac{-12-5}{4}=\dfrac{-17}{4}$.
Par conséquent :
$\color{brown}{D=-\dfrac{17}{4}}$, qui est une fraction irréductible.
CQFD.$\blacktriangle$

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