1. Événement contraire
Définition 1.
On considère une expérience aléatoire sur un univers $\Omega$.
On appelle événement contraire d’un événement $A$ $\Omega$, l’événement noté $\overline{A}$ qui contient toutes les issues de $\Omega$ qui n’appartiennent pas à $A$.
Autrement dit : Pour tout $\omega\in\Omega$ : $$\left[\omega\in\overline{A}~\text{si, et seulement si}~\omega\in\Omega~\text{et}~\omega\not\in A\right]$$
On dit aussi que $\overline{A}$ est le complémentaire de $A$ dans $\Omega$, et on note : $\overline{A}=\Omega\setminus A$ ou parfois en théorie des ensembles : $\overline{A}={\Large\textsf{C}}_\Omega A$
Remarque
Si $A$ est un événement qui contient $p$ issues favorables (sur les $n$ issues de $\Omega$), alors $\overline{A}$ contient $(n – p)$ issues favorables. Donc $\text{Card}(\overline{A})=n-p$. Ce qui donne :$$\boxed{~\text{Card}\left(\overline{A}\right)=\text{Card}(\Omega)-\text{Card}(A)~}$$
2. Calcul de la probabilité d’un événement contraire
Théorème 1.
Dans une expérience aléatoire, si $A$ est un événement et $\overline{A}$ son événement contraire, alors : $$P(\overline{A})=1-P(A)$$
$A$ et $\overline{A}$ sont deux évènements incompatibles, c’est-à-dire qu’ils ne peuvent pas se réaliser simultanément. Donc $A\cap\overline{A}=\emptyset$. De plus $A\cup\overline{A}=\Omega$. Donc : $P(\overline{A})+P(A)=P(\Omega)=1$. D’où le résultat.
3. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
On suppose que, pour un couple, la probabilité d’avoir une fille ou un garçon est la même. Un
couple souhaite avoir deux enfants.
1°) Calculer, en explicitant les issues possibles, la probabilité d’avoir deux garçons.
2°) Calculer de deux manières la probabilité que le couple ait au moins une fille.
Indication. Vous pouvez utiliser l’événement contraire d’avoir deux garçons.
Exercice résolu n°2.
Une urne contient dix cartes identiques numérotées de 1 à 10. L’expérience aléatoire consiste à tirer une carte de cette urne. Soit $A$ l’événement « La carte tirée porte un numéro multiple de 3″.
1°) Déterminer $A$ et calculer sa probabilité.
2°) Déterminer $\overline{A}$ et calculer sa probabilité.
3°) Que remarque-t-on ?
Exercice résolu 2.
Un dé est truqué de telle façon que la probabilité de chaque face est proportionnelle
au numéro de la face. On lance le dé truqué et on note le numéro de la face supérieure. 1°) Donner la loi de probabilité de cette expérience aléatoire.
2°) Calculer la probabilité de l’événement $A$ = « le résultat est pair ».
3°) En déduire la probabilité de l’événement $\overline{A}$.
