Utiliser une fraction pour exprimer un quotient exact, c’est écrire le résultat d’une division sous forme d’une fraction.
1. Qu’est-ce qu’un quotient ?
Définition 1.
Dans une division euclidienne, le quotient entier peut ne pas être le résultat exact avec un reste différent de $0$. Dans une division quelconque, ce qu’on appelle le quotient est le résultat exact de la division.
Exemples.
1°) Le quotient de $6\div2$ est égal à $3$. C’est un résultat exact. En effet : $q=6\div2=3$. Il reste $0$. Ainsi, le quotient exact peut aussi s’écrire sous forme de fraction : $$\boxed{~q=\dfrac{6}{2}=3~}$$
2°) Le quotient exact de $14\div4$ est égal à $3,5$. Ce n’est pas un nombre entier. Ici, la division s’arrête. Le quotient exact est un nombre décimal et peut aussi s’écrire sous forme de fraction : $$\boxed{~q=\dfrac{14}{4}=3,5~}$$
3°) Le quotient exact de $18\div7$ est un nombre avec une écriture décimale illimitée. $$18\div7=2,571428\,571428\ldots$$
Ce n’est pas un nombre entier. Ici, la division ne s’arrête pas. Ce n’est pas un nombre décimal.
Cependant, le quotient exact peut toujours s’écrire sous forme de fraction : $$\boxed{~q=\dfrac{18}{7}~}$$ On pourra donner des valeurs approchées à l’unité, au dixième ou au centième près. Mais la seule écriture du quotient exact est l’écriture sous la forme d’une fraction.
2. Règle d’écriture
Définition 2.
Diviser un nombre $a$ par un autre nombre $b\not=0$, c’est écrire une fraction avec :
– le dividende (ce qu’on divise) en haut (le numérateur) ;
– et le diviseur (par quoi on divise) en bas (le dénominateur).
Le quotient exact de cette division se note toujours sous la forme d’une fraction : $$\boxed{~q=\dfrac{a}{b}~}$$
Exemples
$4\div5=\boxed{~\dfrac{4}{5}~}$ ; $\quad7\div2=\boxed{~\dfrac{7}{2}~}$ ; $1\div4=\boxed{~\dfrac{1}{4}~}$ et $\quad5\div3=\boxed{~\dfrac{5}{3}~}$.
3. Remarque et astuce
$\bullet$ Le symbole de la division $\boxed{\large\div}$ représente en effet une fraction avec les 2 points qui représentent le numérateur et le dénominateur et le trait de fraction qui les sépare.
$\bullet$ Même si le résultat n’est pas entier et est ou pas un nombre décimal, on peut toujours écrire immédiatement un quotient sous forme d’une fraction.
4. Exercices résolus
Exercice résolu n°1.
Écris chacune des divisions suivantes sous forme de fraction, sans la calculer en nombre décimal.
a) $10\div 3 =\ldots$ ;
b) $8\div 5 =\ldots$ ;
c) $12\div 4=\ldots$ ;
d) $3\div 8=\ldots$ ;
e) $9\div 2=\ldots$
f) $7\div 7 = \ \ldots$
Exercice résolu n°2.
On partage 7 pommes entre 3 enfants. Donner la part de chaque enfant
1°) En utilisant la division euclidienne ;
2°) En utilisant l’écriture fractionnaire.