1. Définition et propriétés

Définition 1.
Encadrer une fraction par deux nombres entiers consécutifs, c’est trouver deux entiers l’un juste en dessous et l’autre juste au-dessus de la valeur de la fraction.
Nous rappelons que la partie entière d’un nombre s’appelle aussi la troncature à l’unité et est égale au nombre entier situé juste en dessous.

Propriété 1.
Si le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors la fraction est comprise entre $0$ et $1$. $$\boxed{~\text{Si}~a<b~\text{et}~a\not=0,\quad\text{alors}\quad 0<\dfrac{a}{b}\leqslant 1~}$$

Par exemple $\boxed{~0<\dfrac{4}{7}<1~}$, car $4<7$.

Propriété 2.
$$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Si}~a=0~\text{et}~b\not=0,\quad\text{alors}\quad \dfrac{0}{b}=0\\ \hline
\text{Si}~a\not=0,\quad\text{alors}\quad \dfrac{a}{a}=1\\ \hline \end{array}$$

Par exemple $\dfrac{0}{7}=0$ et $\dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{2}=\dfrac{3}{3}=\cdots=\dfrac{10}{10}=\cdots=1$.

2. Étapes à suivre pour encadrer une fraction

  1. Calculer ou estimer la valeur de la fraction ;
  2. Trouver l’entier immédiatement inférieur (la partie entière ou troncature à l’unité) ;
  3. Trouver l’entier immédiatement supérieur (en rajoutant 1) ;
  4. Écrire l’encadrement.

2.1. Astuce si tu as une calculatrice

Exercice résolu n°1.
Avec une calculatrice, encadrer la fraction $\dfrac{18}{7}$ par deux nombres entiers consécutifs.

Pour encadrer la fraction $\dfrac{18}{7}$ par deux nombres entiers consécutifs, avec une calculatrice,

  • Tu tape $18~\boxed{\div}~7$. La calculatrice te donne : $\dfrac{18}{7}=2,571428…$
  • $2$ est la partie entière de $\dfrac{18}{7}$. C’est aussi la troncature à l’unité de $\dfrac{18}{7}$. Donc, $$2<\dfrac{18}{7}$$
  • On rajoute $1$. on obtient $2+1=3$. Donc $$2<\dfrac{18}{7}<3$$

2.2. Astuce si tu n’as pas de calculatrice

Exercice résolu n°2.
Sans calculatrice, encadrer la fraction $\dfrac{18}{7}$ par deux nombres entiers consécutifs.

Pour encadrer la fraction $\dfrac{18}{7}$ par deux nombres entiers consécutifs, si tu n’as pas de calculatrice, commence par faire une division euclidienne :

  • $\dfrac{18}{7}=18~\div~7 =2$ reste $4$. Donc $\dfrac{18}{7}=2+\dfrac{4}{7}$
  • $0<\dfrac{4}{7}<1$, donc $$2<\dfrac{18}{7}<3$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
Encadrer la fraction $\dfrac{17}{2}$ par deux nombres entiers consécutifs.

Encadrer la fraction $\dfrac{17}{2}$
$\dfrac{17}{2}=17\div2=8,5$
Donc la partie entière ou la troncature à l’unité de $\dfrac{17}{2}$ est égale à $3$. Donc, l’entier juste en dessous de $\dfrac{17}{2}$ est $8$.
L’entier juste au-dessus est $9=8+1$. Donc l’encadrement de $\dfrac{17}{2}$ est : $$\boxed{~8 <\dfrac{17}{2} < 9~}$$ CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°4.
Encadrer la fraction $\dfrac{11}{3}$ par deux nombres entiers consécutifs.

Pour encadrer $\dfrac{11}{3}$, on cherche une estimation de la valeur de cette fraction avec une calculatrice ou avec une division euclidienne :
$11~\boxed{\div}~3\simeq 3,666…$ Donc, $\dfrac{11}{3} \simeq 3,666…$
La partie entière ou la troncature à l’unité de $\dfrac{11}{3}$ est égale à $3$.
Donc, l’entier juste en dessous de $\dfrac{11}{3}$ est $3$.
L’entier juste au-dessus est $4=3+1$. Donc l’encadrement de $\dfrac{11}{3}$ est : $$\boxed{~3 < \dfrac{11}{3} < 4~}$$ CQFD. $\blacktriangle$