Voici comment écrire une fraction sous forme de somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1. C’est ce qu’on appelle une fraction mixte ou une écriture mixte d’un nombre fractionnaire.

1. Principe et propriétés

Propriété 1.
Dans une fraction, si le numérateur est plus petit que le dénominateur, alors la fraction est plus petite que $1$. $$\boxed{~\text{Si}~a<b~\text{et}~a\not=0,\quad\text{alors}\quad \dfrac{a}{b}\leqslant 1~}$$

Par exemple $\boxed{~\dfrac{4}{7}<1~}$, car $4<7$.

Propriété 2.
$$\begin{array}{|c|}\hline
\text{Si}~a=0~\text{et}~b\not=0,\quad\text{alors}\quad \dfrac{0}{b}=0\\ \hline
\text{Si}~a\not=0,\quad\text{alors}\quad \dfrac{a}{a}=1\\ \hline \end{array}$$

Par exemple $\dfrac{0}{7}=0$ et $\dfrac{1}{1}=\dfrac{2}{2}=\dfrac{3}{3}=\cdots=\dfrac{10}{10}=\cdots=1$.

Propriété 3.
1°) Si une fraction $\dfrac{a}{b}$ est inférieure à $1$, alors elle s’écrit comme somme d’un entier $0$ et d’une fraction inférieure à $1$ (elle-même) : $$\boxed{~\dfrac{a}{b}=0+\dfrac{a}{b}~}$$
2°) Si une fraction $\dfrac{a}{b}$ est supérieure ou égale à 1, on peut extraire l’entier contenu dedans, en effectuant une division euclidienne, comme suit : $$\boxed{~\dfrac{a}{b}=\text{entier}+\dfrac{\text{reste}}{b}~}$$ Le dénominateur reste le même.
Autrement dit : $$\boxed{~\dfrac{a}{b}=q+\dfrac{r}{b}~}$$ où $q$ et $r$ sont des entiers, avec $0\leqslant r<b$. Donc la fraction $\dfrac{r}{b}<1$.

2. Étapes à suivre

Soit $\dfrac{a}{b}$ une fraction supérieure ou égale à $1$.
Pour écrire la fraction $\dfrac{a}{b}$ comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$ :
1°) On effectue une division euclidienne du numérateur par le dénominateur ;
2°) Le quotient $q$ est l’entier ;
3°) Le reste $r$ est le numérateur de la nouvelle fraction.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Écrire la fraction $\dfrac{23}{4}$ comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$.

1ère étape :
On effectue une division euclidienne du numérateur $23$ par le dénominateur $4$ ; on obtient : $\dfrac{23}{4}=23\div4=5$, reste $3$.
2ème étape :
Quotient entier $q=5$ et reste $r=3$.
3ème étape :
On écrit le résultat : $$\boxed{~\dfrac{23}{4}=5+\dfrac{3}{4}~}$$ CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°2.
Écrire la fraction $\dfrac{14}{17}$ comme somme d’un entier et d’une fraction inférieure à $1$.

1ère méthode :
On remarque d’bord que $\dfrac{14}{17}<1$, car $14<17$.
Par conséquent : $$\boxed{~\dfrac{14}{17}=0+\dfrac{14}{17}~}$$

2ème méthode : (celle de l’exercice n°1.)
On effectue une division euclidienne du numérateur $14$ par le dénominateur $17$ ; on obtient : $\dfrac{14}{17}=14\div17=0$, reste $14$.
2ème étape :
Quotient entier $q=0$ et reste $r=14$.
3ème étape :
On écrit le résultat : $$\boxed{~\dfrac{14}{17}=0+\dfrac{14}{17}~}$$
CQFD. $\blacktriangle$