En 6ème, il est important de connaître des égalités entre des fractions usuelles. En effet, cela aide à simplifier les fractions et à mieux comprendre les équivalences entre fractions.

1. Égalités des fractions. Fractions équivalentes

Deux fractions sont égales (ou équivalentes) si elles représentent la même valeur.

Propriétés fondamentales
Lorsqu’on multiplie ou on divise le numérateur et le dénominateur par le même nombre (non nul), on obtient une fraction équivalente.

Autrement dit :

Propriété n°1.
Multiplier le numérateur et le dénominateur par le même nombre $ k\not=0$ : $$\boxed{~\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\times k}{b\times k}~}$$

Exercice résolu n°1.
Donner une ou plusieurs fractions équivalentes à $\dfrac{1}{2}$.

$\dfrac{1}{2} = \dfrac{1 \times 5}{2 \times 5} = \dfrac{5}{10}$. Ainsi les fractions $\dfrac{1}{2}$ et $\dfrac{5}{10}$ sont deux fractions égales. Elles ont la même valeur. On dit aussi que ces fractions sont équivalentes. $$\boxed{~\dfrac{1}{2} = \dfrac{5}{10}~}$$
D’une manière analogue, en multipliant respectivement par $2$, par $3$, par $4$,… on obtient : $$\boxed{~\dfrac{1}{2} = \dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6} = \dfrac{4}{8}=\cdots~}$$

Propriété n°2.
Diviser le numérateur et le dénominateur par le même nombre $k\not=0$ : $$\boxed{~\dfrac{a}{b}=\dfrac{a\div k}{b\div k}~}$$

Exercice résolu n°2.
Donner une ou plusieurs fractions équivalentes à $\dfrac{10}{100}$.

$\dfrac{10}{100} = \dfrac{10 \div 10}{100 \div 10} = \dfrac{1}{10}$. Ainsi les fractions $\dfrac{10}{100}$ et $\dfrac{1}{10}$ sont deux fractions égales. Elles ont la même valeur. Ces fractions sont aussi équivalentes. $$\boxed{~\dfrac{10}{100} = \dfrac{1}{10}~}$$
D’une manière analogue, en divisant respectivement par $2$, par $5$, ou par $10$, on obtient : $$\boxed{~\dfrac{10}{100} = \dfrac{5}{50}=\dfrac{2}{20} = \dfrac{1}{10}~}$$

2. Quelques égalités à connaître par cœur :

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline
\dfrac{2}{4}=\dfrac{1}{2} & \dfrac{3}{6}=\dfrac{1}{2} & \dfrac{4}{8}=\dfrac{1}{2}\\ \hline
\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2} & \dfrac{10}{100}=\dfrac{1}{10} & \dfrac{20}{100}=\dfrac{1}{5}\\ \hline
\dfrac{25}{100}=\dfrac{1}{4} & \dfrac{50}{100}=\dfrac{1}{2} & \dfrac{75}{100}=\dfrac{3}{4}\\ \hline
\dfrac{5}{20}=\dfrac{1}{4} & \dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3} & \dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}\\ \hline
\end{array}$$

3. Astuce. Tester une égalité de deux fractions

Propriété n°3.
Pour vérifier si deux fractions sont égales, on peut simplifier l’une d’elles ou utiliser la multiplication en croix : $$\boxed{~\frac{a}{b} = \frac{c}{d} \quad \text{si et seulement si} \quad a \times d = b \times c~}$$

4. Exercices résolus

Exercice résolu n°3.
Complète les cases pour obtenir deux fractions équivalentes :
1°) $\dfrac{7}{8} = \dfrac{\square}{16}\qquad$ 2°) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{\square}{10}$
3°) $\dfrac{4}{6} = \dfrac{\square}{3}\qquad$ 4°) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\square}{12}$

1°) $\dfrac{7}{8} = \dfrac{\square}{16}$ ?
Comment passer de $8$ à $16$ ? On multiplie par $2$. On a alors :
$\dfrac{7}{8} = \dfrac{7\times2}{8\times2} =\dfrac{14}{16}$.
Donc $\square=14$

2°) $\dfrac{3}{5} = \dfrac{\square}{10}$
Comment passer de $5$ à $10$ ? On multiplie par $2$. On a alors :
$\dfrac{3}{5} = \dfrac{3\times2}{5\times2} =\dfrac{6}{10}$.
Donc $\square=6$

3°) $\dfrac{4}{6} = \dfrac{\square}{3}$
Comment passer de $6$ à $3$ ? On divise par $2$. On a alors :
$\dfrac{4}{6} = \dfrac{4\div2}{6\div2} =\dfrac{2}{3}$.
Donc $\square=2$

4°) $\dfrac{2}{3} = \dfrac{\square}{12}$
Comment passer de $3$ à $12$ ? On multiplie par $4$. On a alors :
$\dfrac{2}{3} = \dfrac{2\times4}{3\times4} =\dfrac{8}{12}$.
Donc $\square=8$
CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°4.
Donne deux fractions équivalentes à chacune des fractions suivantes :
1°) $\dfrac{1}{2} = \ldots = \ldots\qquad$ 2°) $\dfrac{6}{10} = \ldots = \ldots$
3°) $\dfrac{5}{8} = \ldots = \ldots\qquad$ 4°) $\dfrac{8}{12}= \ldots = \ldots$.

1°) Il suffit de multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul : $2$ ou $3$ ou $4$, etc.
$\dfrac{1}{2} =\dfrac{1\times2}{2\times2} =\boxed{~\dfrac{2}{4}~}$
$\dfrac{1}{2} =\dfrac{1\times3}{2\times3} =\boxed{~\dfrac{3}{6}~}$

2°) $\dfrac{6}{10} = \ldots = \ldots$
$\dfrac{6}{10} =\dfrac{6\div2}{10\div2} =\boxed{~\dfrac{3}{5}~}$
$\dfrac{6}{10} =\dfrac{6\times2}{10\times2} =\boxed{~\dfrac{12}{20}~}$

3°) $\dfrac{5}{8} = \ldots = \ldots\qquad$
$\dfrac{5}{8} =\dfrac{5\times2}{8\times2} =\boxed{~\dfrac{10}{16}~}$
$\dfrac{5}{8} =\dfrac{5\times3}{8\times3} =\boxed{~\dfrac{15}{24}~}$

4°) $\dfrac{8}{12}= \ldots = \ldots$.
$\dfrac{8}{12} =\dfrac{8\div2}{12\div2} =\boxed{~\dfrac{4}{6}~}$
$\dfrac{8}{12} =\dfrac{8\div4}{12\div4} =\boxed{~\dfrac{2}{3}~}$
CQFD. $\blacktriangle$

Exercice résolu n°4. VRAI ou FAUX ? Justifiez !
Dis si les égalités suivantes sont vraies ou fausses (et justifie si possible) :
1°) $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ ?
2°) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ ?
3°) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{7}$ ?

Deux méthodes pour tester l’égalité de deux fractions :
1ère méthode :
Vérifier si on peut multiplier ou diviser numérateur et dénominateur par un même nombre non nul pour passer de l’une à l’autre.
2ème méthode :
On vérifie s’il y a égalité des produits en croix : $$\dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d}\quad\text{lorsque}\quad \boxed{~a\times d=b\times c~}$$

1°) $\dfrac{6}{9}=\dfrac{2}{3}$ ? VRAI !
Effectivement, si on divise $6$ et $9$ par $3$, on obtient respectivement $2$ et $3$. Ainsi :
$\dfrac{6}{9}=\dfrac{6\div3}{9\div3}=\dfrac{2}{3}$. VRAI !

Avec la 2ème méthode, on calcule séparément :
$6\times3=18$ et $9\times2=18$. Par conséquent : $6\times3=9\times2$.
Par conséquent : ces deux fractions sont égales car il y a égalité des produits en croix.

2°) $\dfrac{2}{5} = \dfrac{4}{10}$ ? VRAI !
Effectivement, si on multiplie $2$ et $5$ par $2$, on obtient respectivement $4$ et $10$. Ainsi :
$\dfrac{2}{5}=\dfrac{2\times2}{5\times2}=\dfrac{4}{10}$. VRAI !

Avec la 2ème méthode, on calcule séparément :
$2\times10=20$ et $5\times4=20$. Par conséquent : $2\times10=5\times4$.
Par conséquent : ces deux fractions sont égales car il y a égalité des produits en croix.

3°) $\dfrac{3}{4} = \dfrac{6}{7}$ ? FAUX !
Effectivement, si on multiplie $3$ par $2$ on obtient $6$, mais si on multiplie $4$ par $2$ on obtient $8$ et non $7$. Ainsi, ces deux fractions ne sont pas égales.

Avec la 2ème méthode, on calcule séparément :
$3\times7=21$ et $4\times6=24$. Par conséquent : $3\times7\not=4\times6$.
Par conséquent : ces deux fractions ne sont pas égales car il n’y a pas égalité des produits en croix.
CQFD. $\blacktriangle$