- Les puissances d’un nombre relatif
- Règle de calculs avec parenthèses
- Règle de calculs sans parenthèses
- Priorités des opérations
- Exercices résolus
1. Les puissances d’un nombre relatif
Définition 1.
Une puissance est une répétition de multiplications. Soit $a$ un nombre relatif. On note :
$a^2$ et on lit « $a$ au carré », le nombre : $\boxed{~a^2=a\times a~}$ ;
$a^3$ et on lit « $a$ au cube », le nombre : $\boxed{~a^3=a\times a\times a~}$ ;
$a^4$ et on lit « $a$ puissance $4$», le nombre : $\boxed{~a^3=a\times a\times a\times a~}$.
Plus généralement, si $n$ est un nombre entier, alors On note $a^n$ et on lit « $a$ puissance $n$», le nombre :
$\boxed{~a^n=\underbrace{a\times a\times\cdots a}_{n~\text{facteurs}}~}$
On dit aussi « $a$ élevé à la puissance $n$ ».
Cas particuliers : $\boxed{~a^1=a~}$ et si $a\not=0$, alors $\boxed{~a^0=1~}$. L’écriture $0^0$ n’est pas définie.
Exemples
1°) Calculer : $A=3^2$, $B=4^3$ et $C=2^5$.
$A=3^2=3\times3=\boxed{~9~}$.
$B=4^3=4\times4\times4=16\times4=\boxed{~64~}$.
$C=2^5=2\times2\times2\times2\times2=\boxed{~32~}$.
2. Règle de calculs avec parenthèses
Propriétés
Règle 1.
Dans une suite de calculs avec parenthèses, on commence toujours par effectuer les calculs entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus « intérieures ».
On dit que les calculs entre parenthèses sont prioritaires par rapport aux autres opérations.
Exemples
1°) Calcul de $A=2\times (8+3)$.
2°) Calcul de $B=5\times \left(14+(3+2)\times 4\right)$
1°) Calcul de $A=2\times (8+3)$. $$A=2\times (8+3) = 2\times 11=\boxed{~22~}$$
2°) Calcul de $B=5\times \left(14+(3+2)\times 4\right)$
$$\begin{array}{l} B=5\times \left(14+(3+2)\times 4\right)\\
B=5\times \left(14+5\times 4\right)\\
B=5\times \left(14+20\right)\\
B=5\times 34\\
\boxed{~B=170~}\\ \end{array}$$
3. Règle de calculs sans parenthèses
Règle 2.
Dans une suite de calculs sans parenthèses, on effectue d’abord les puissances, puis les multiplications et les divisions et enfin les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.
On dit que les puissances sont prioritaires par rapport aux multiplications et divisions.
De même, les multiplications et divisions sont prioritaires par rapport aux additions et soustractions.
Exemples
1°) Calcul de $A=8+2\times6-5$.
2°) Calcul de $B=6\times3^2+8$
1°) Calcul de $A=8+2\times6-5$. $$A=8+12-5=20-5=\boxed{~15~}$$
2°) Calcul de $B=6\times3^2+8$
$$\begin{array}{ll} B=6\times 3^2+8 &\text{la puissance d’abord}\\
B=6\times 9+8 &\text{la multiplication ensuite}\\
B=54+8 &\text{Et enfin l’addition}\\
\boxed{~B=62~}\\ \end{array}$$
Règle 3.
Dans une suite de calculs sans parenthèses, ne contenant que des multiplications et des divisions, on peut effectuer les opérations dans l’ordre de gauche à droite.
Exemple
Calculer : $A=8\times 3\div2$.
$A=8\times 3\div2=(8\times 3)\div2=24\div2=\boxed{~12~}$
Règle 4.
Dans une suite de calculs sans parenthèses, ne contenant que des additions et soustractions, on effectue les opérations dans l’ordre de gauche à droite.
4. Priorités des opérations
Propriété n°3.
Dans une suite de calculs avec ou sans parenthèses, on effectue dans l’ordre :
1°) Les opérations entre parenthèses en commençant par les parenthèses les plus « intérieures ».
2°) Les puissances,
3°) Puis les multiplications et les divisions dans l’ordre, de gauche à droite.
4°) Et enfin les additions et les soustractions dans l’ordre où elles se présentent.
5. Exercices résolus
Exercice n°1.
Calculer
1°) $A=(5+3)\times 2$
2°) $B=12+(5+3)\times 2^3$
3°) $C=7,5\times \left(11-(5+2)\right)$
4°) $D=9\times \left[(8+1)-(12\div2)\right]$
Exercice n°2.
Calculer
1°) $A=5+3\times 2$
2°) $B=5+3\times 2^2$
3°) $C=5\times (17-5\times2)$
4°) $D=4\times8-12\div2$