1. Somme des mesures des angles dans un triangle

La propriété suivante est fondamentale en géométrie euclidienne plane.

Propriété n°1.
Dans un triangle $ABC$ quelconque, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$. $$\boxed{~\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ~}$$

Soit $ABC$ un triangle quelconque.
On construit la droite $(xy)$ parallèle à la droite $(BC)$ et passant par $A$.

Pour simplifier l’écriture, on note $\widehat{A}=\widehat{BAC}$, $\widehat{B}=\widehat{ABC}$ et $\widehat{C}=\widehat{BCA}$.

On sait que les deux droites $(BC)$ et $(xy)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(AB)$. Donc, les angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAx}$ sont alternes-internes.
Or, « Si deux droites sont parallèles et coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont de même mesure ».
Donc les deux angles $\widehat{ABC}$ et $\widehat{BAx}$ sont de même mesure. Ce qui donne : $$\boxed{~\widehat{BAx}=\widehat{ABC}=\widehat{B}~}$$

De même, on sait que les deux droites $(BC)$ et $(xy)$ sont parallèles et coupées par la sécante $(AC)$. Donc, les angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{CAy}$ sont alternes-internes.
Or, « Si deux droites sont parallèles et coupées par une sécante, alors les angles alternes-internes sont de même mesure ».
Donc les deux angles $\widehat{BCA}$ et $\widehat{CAy}$ sont de même mesure. Ce qui donne : $$\boxed{~\widehat{CAy}=\widehat{BCA}=\widehat{C}~}$$

Par ailleurs, comme la droite $(xy)$ passe par le point $A$, l’angle $\widehat{xAy}$ est un angle plat. Donc : $$\widehat{xAy}=180^\circ$$
D’autre part, les deux angles $\widehat{BAx}$ et $\widehat{BAC}$ sont adjacents et les deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{CAy}$ sont adjacents. Donc : $$\widehat{BAx}+\widehat{BAC}+\widehat{CAy}=\widehat{xAy}$$
Par conséquent : $$\boxed{~\widehat{B}+\widehat{A}+\widehat{C}=180^\circ~}$$

Conclusion. Dans un triangle $ABC$ quelconque, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$.

2. Mesures des angles dans les triangles particuliers

Propriété n°2.
Dans un triangle équilatéral $ABC$ quelconque, chaque angle mesure $60^\circ$. $$\boxed{~\widehat{A}=\widehat{B}=\widehat{C}=60^\circ~}$$

Propriété n°3.
Dans un triangle $ABC$ isocèle en $A$, les deux angles à la base ont la même mesure. $$\boxed{~\widehat{B}=\widehat{C}~}$$

Propriété n°4.
Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$, les deux angles aigus sont complémentaires. $$\boxed{~\widehat{B}+\widehat{C}=90^\circ~}$$

Propriété n°5.
Dans un triangle $ABC$ isocèle rectangle en $A$, les deux angles aigus sont complémentaires et mesurent chacun $45^\circ$. $$\boxed{~\widehat{B}=\widehat{C}=45^\circ~}$$

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Soit $ABC$ un triangle tel que : $\widehat{ABC}=49^\circ$ et $\widehat{BAC}=65^\circ$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$.

Dans le triangle $ABC$, on sait que :
$\widehat{ABC}=49^\circ$ et $\widehat{BAC}=65^\circ$.
Or, « Dans un triangle $ABC$ quelconque, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$ ».
Donc : $$\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^\circ$$ Donc, $$49^\circ+65^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ$$ Donc, $$114^\circ+\widehat{ACB}=180^\circ$$ Ce qui donne : $$\widehat{ACB}=180^\circ-114^\circ$$ et par suite : $$\widehat{ACB}=66^\circ$$ Conclusion. La mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ est : $$\boxed{~\widehat{ACB}=66^\circ~}$$

Exercice résolu n°2.
Soit $ABC$ un triangle isocèle en $A$ tel que : $\widehat{ABC}=64^\circ$.
Calculer les mesure des deux angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACB}$.

Dans le triangle $ABC$ isocèle en $A$, on sait que : $\widehat{B}=\widehat{ABC}=64^\circ$.
Or, « Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure ».
Donc : $\widehat{C}=\widehat{B}=64^\circ$. Par conséquent : $$\boxed{~\widehat{ACB}=\widehat{C}=64^\circ~}$$
D’autre part, on sait aussi que « Dans un triangle quelconque, la somme des mesures des trois angles est égale à $180^\circ$ ». Donc : $$\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^\circ$$ Donc, $$\widehat{BAC}+64^\circ+64^\circ=180^\circ$$ Donc, $$\widehat{BAC}+128^\circ=180^\circ$$ Ce qui donne : $$\widehat{BAC}=180^\circ-128^\circ$$ et par suite : $$\boxed{~\widehat{BAC}=52^\circ~}$$ Conclusion. Les mesures des angles $\widehat{BAC}$ et $\widehat{ACB}$ sont : $$\boxed{~\widehat{BAC}=52^\circ~}~~\text{et}~~\boxed{~\widehat{ACB}=64^\circ~}$$

Exercice résolu n°3.
Soit $ABC$ un triangle rectangle en $A$ tel que : $\widehat{ABC}=58^\circ$.
Calculer la mesure de l’angle $\widehat{ACB}$.

Dans le triangle $ABC$ rectangle en $A$, on sait que : $\widehat{A}=\widehat{BAC}=90^\circ$ et $\widehat{B}=\widehat{ABC}=58^\circ$.
Or, « Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires ».
Donc : $\widehat{B}+\widehat{C}=90^\circ$. Par conséquent : $$58^\circ+\widehat{C}=90^\circ$$ Ce qui donne : $$\widehat{C}=90^\circ-58^\circ$$ et par suite : $$\boxed{~\widehat{C}=32^\circ~}$$ Conclusion. La mesure de l’angle $\widehat{ACB}$ sont : $$\boxed{~\widehat{ACB}=32^\circ~}$$

Exercice résolu n°4.
Construire un triangle $ABD$ rectangle en $A$ et tel que $AB=10$ cm et $\widehat{ABD}=35°$.
Placer le point $C$ sur le côté $[AB]$ tel que $ABC$ soit un triangle isocèle en $C$. Toutes les réponses doivent être justifiées.
1°) Faire une figure.
2°) Déterminer la mesure de l’angle : $\widehat{BAC}$.
3°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ACB}$.
4°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ACD}$.
5°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{CAD}$.
6°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ADB}$.

1°) Construction de la figure :

2°) Déterminer la mesure de l’angle : $\widehat{BAC}$.
D’une part, on sait que, dans le triangle $ABC$ : $\widehat{ABC}=35°$.
D’autre part, le triangle $ABC$ est isocèle en $C$. Donc, ses deux angles à la base sont de même mesure. Donc : $\widehat{BAC}=\widehat{ABC}$.
Par conséquent : $\boxed{~\widehat{BAC}=35^\circ~}$

3°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ACB}$.
On sait que, dans le triangle $ABC$ : $\widehat{ABD}=35°$ et $\widehat{ABC}=35°$.
Or, « Dans un triangle quelconque, la somme des mesures des trois angles est égale à 180° ». Donc : $\widehat{ACB}+\widehat{ABC}+\widehat{BAC}=180°$
Ce qui donne : $\widehat{ACB}+35°+35°=180°$$
Ou encore : $\widehat{ACB}+70°=180°$
Et par soustraction, on obtient : $\widehat{ACB}=180°-70°$
Conclusion. $\boxed{~\widehat{ACB}=110^\circ~}$

4°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ACD}$.
On sait que, les deux angles $\widehat{ACB}$ et $\widehat{ACD}$ sont adjacents et forment un angle plat. Ils sont supplémentaires.
Donc : $\widehat{ACB}+\widehat{ACD}=180°$
Ce qui donne : $110°+\widehat{ACD}=180°$
Et par soustraction, on obtient : $\widehat{ACD}=180°-110°$
Conclusion. $\boxed{~\widehat{ACD}=70^\circ~}$

5°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{CAD}$.
On sait que, les deux angles $\widehat{CAB}$ et $\widehat{CAD}$ sont adjacents et forment un angle droit. Ils sont complémentaires.
Donc : $\widehat{CAB}+\widehat{CAD}=90°$
Ce qui donne : $35°+\widehat{CAD}=90°$
Et par soustraction, on obtient : $\widehat{CAD}=90°-35°$
Conclusion. $\boxed{~\widehat{CAD}=55^\circ~}$

6°) Calculer la mesure de l’angle : $\widehat{ADB}$.
On sait que, le triangle $ABD$ est rectangle en $A$ et $\widehat{ABD}=35°$.
Or, « Dans un triangle rectangle, les deux angles aigus sont complémentaires »
Donc : $\widehat{ABD}+\widehat{ADB}=90°$
Ce qui donne : $35°+\widehat{ADB}=90°$
Et par soustraction, on obtient : $\widehat{ADB}=90°-35°$
Conclusion. $\boxed{~\widehat{ADB}=55^\circ~}$.