Un nombre relatif est composé de d’un signe (positif ou négatif) et d’une partie numérique, appelée aussi valeur absolue ou distance à zéro. Pour apprendre à calculer les opérations d’addition et de soustraction de nombres relatifs, nous avons besoins de ces deux notions. Ces notions sont fondamentales pour bien maîtriser le calcul des opérations sur les nombres, en particulier les additions et soustractions des nombres relatifs.

1. Opposé d’un nombre relatif

Définition 1.
L’opposé d’un nombre relatif $a$ est le nombre relatif qui a la même distance à zéro et le signe contraire. $$\color{brown}{\boxed{~\text{opposé}(a)=-a~}}$$

Exemples.
L’opposé de $(+5,6)$ est $(-5,6)$. En effet : $\text{opposé}(+5,6)=-(+5,6)=(-5,6)$
L’opposé de $(-2,36)$ est $(+2,36)$. En effet : $\text{opposé}(-2,36)=-(-2,36)=(+2,36)$.

2. Soustraction de nombres relatifs

Règle 1. Soustraction de nombres relatifs :
Pour soustraire un nombre relatif, on ajoute son opposé.
Quels que soient les nombres $a$ et $b$, on peut écrire : $$\boxed{~b-a=b+\text{opposé}(a)=b+(-a)~}$$ On obtient $$\boxed{~-(-a)=(+a)\quad\text{et}\quad-(+a)=(-a)~}$$

Méthode de calcul d’une différence
Pour calculer la différence de deux ou plusieurs nombres relatifs, on commence par transformer toutes les soustractions en additions d’opposés, puis on applique les règles habituelles d’addition des nombres relatifs.

Exercice résolu n°1.
1°) Calculer $A=(-3,5)-(-4,2)$.
2°) Calculer $B=(-3,5)-(+4,2)$.
3°) Calculer $C=(+3,5)-(+4,2)$.
4°) Calculer $D=(+3,5)-(-4,2)$.

1°) Calculer $A=(-3,5)-(-4,2)$.
On commence par transformer la soustraction en addition d’opposé. On obtient : $A=(-3,5)-(-4,2)=(-3,5)+(+4,2)$
Ces deux nombres sont de signes contraires.
On calcule la différence des deux parties numériques, puis on garde le signe du nombre qui a la plus grande distance à zéro. $4,2-3,5=0,7$.
Ici, le nombre qui a la plus grande distance à zéro est le nombre positif $(+4,2)$, donc la somme est positive. Donc : $$\boxed{~~A=(-3,5)-(-4,2)=+0,7~~}$$

2°) Calculer $B=(-3,5)-(+4,2)$.
On commence par transformer la soustraction en addition d’opposé. On obtient : $B=(-3,5)-(+4,2)=(-3,5)+(-4,2)$
Ces deux nombres sont de même signe $(-)$.
On additionne les deux distances à zéro et on garde le signe commun des deux nombres.
$3,5+4,2=7,7$. Les deux nombres sont négatifs, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~B=(-3,5)-(+4,2)=-7,7~~}$$

3°) Calculer $C=(+3,5)-(+4,2)$.
On commence par transformer la soustraction en addition d’opposé. On obtient : $C=(+3,5)-(+4,2)=(+3,5)+(-4,2)$
Ces deux nombres sont de signes contraires.
On calcule la différence des deux distances à zéro, puis on garde le signe du nombre qui a la plus grande partie numérique. $4,2-3,5=0,7$.
Ici, le nombre qui a la plus grande distance à zéro est le nombre négatif $(-4,2)$, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~C=(+3,5)-(+4,2)=-0,7~~}$$

4°) Calculer $D=(+3,5)-(-4,2)$.
On commence par transformer la soustraction en addition d’opposé. On obtient : $D=(+3,5)-(-4,2)=(+3,5)+(+4,2)$
Ces deux nombres sont de même signe $(+)$.
On additionne les deux distances à zéro et on garde le signe commun des deux nombres.
$3,5+4,2=7,7$. Les deux nombres sont négatifs, donc la somme est négative. Donc : $$\boxed{~~D=(+3,5)-(-4,2)=+7,7~~}$$

3. Simplification des écritures

L’utilisation et le respect des parenthèses sont très importants pour l’apprentissage des opérations sur les nombres relatifs. Néanmoins, très vite, nous allons nous « débarrasser » de ces parenthèses pour simplifier les écritures.

Simplifications des écritures
$\bullet$ On peut supprimer le signe $+$ et les parenthèses des nombres positifs.
$\bullet$ On peut supprimer les parenthèses du premier nombre relatif d’une somme ou une différence. $$\begin{array}{rcl} (+8) &=& +8 = 8 \\ (-8) &=& -8\\ (+3)+(+5) &=& 3+5 \\ (-7)+(+2) &=& -7+2\\
(-7)+(-2) &=& -7-2\\ (-7)-(+2) &=& -7-2\\ (-7)-(-2) &=& -7+2\\ \end{array}$$

2. Exercices résolus

Exercice résolu n°2.
1°) Calculer $A=(-8,5)-(-4,2)-(+5,6)+(-4,2)$.
2°) Calculer $B=(-4,5)-(+3,2)-(-2,8)$.

1°) Calculer $A=(-8,5)-(-4,2)-(+5,6)+(-4,2)$.
– On transforme les soustractions en additions d’opposés :
$A=(-8,5)+(+4,2)+(-5,6)+(-4,2)$
– On élimine les opposés :
$A=(-8,5)+(+4,2)\hspace{-2em}{\color{brown}{\LARGE\diagup}}\hspace{1ex}+(-5,6)+(-4,2)\hspace{-2em}{\color{brown}{\LARGE\diagup}}\hspace{1ex}$.
On obtient : $A=(-8,5)+(-5,6)$.
Ce qui donne : $\color{brown}{\boxed{~A=(-14,1)}}$
1ère méthode : On calcule au fur et à mesure.
$$\begin{array}{rl}A&={\color{brown}{(-8,5)+(+4,2)}}+(-5,6)+(-4,2)\\ &={\color{brown}{(-4,3)}} \\ \end{array}$$

2°) Calculer $B=(-4,5)-(+3,2)-(-2,8)$.

Exercice résolu n°3.