1. Multiples d’un nombre entier

Définition 1.
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels.
On dit que $a$ est un multiple de $b$ s’il existe un entier $q$ tel que $a=b\times q$.
Autrement dit, si $b\not=0$ :
$a$ est un multiple de $b$ si et seulement si le reste de la division euclidienne de $a$ par $b$ est égal à $0$.

Exemples

  • $24$ est un multiple de $6$, car il existe un entier $q$ tel que $24=6\times q$. Ici $q=4$.
  • De même $24$ est un multiple de $4$, car il existe un entier $q’$ tel que $24=4\times q’$. Ici $q’=6$.
  • Les multiples de $24$ sont tous les nombres qui s’écrivent sous la forme $24\times q$, où $q$ est un entier naturel. Ce sont tous les nombres de la table de multiplication illimitée de $24$. on obtient alors : $$0;\, 24;\,48;\,72;\,96;\,120;\,144;\, 168\ldots \text{etc.}$$

Propriété 1.
Soit $a$ un entier naturel non nul. Alors, il existe une infinité de multiples de $a$.

Propriété 2.
La somme et la différence de deux multiples d’un entier $a$ est un multiple de $a$.
Si $m_1$ et $m_2$ sont deux multiples de $a$, alors $m_1+m_2$ et $m_1-m_2$ sont encore des multiples de $a$.

Soient $m_1$ et $m_2$ sont deux multiples de $a$.
$m_1$ est un multiple de $a$, donc il existe un entier $q_1$ tel que $m_1 =a\times q_1$
$m_2$ est un multiple de $a$, donc il existe un entier $q_2$ tel que $m_2 =a\times q_2$.
On a alors :
$m_1+m_2=a\times q_1+a\times q_2=a\times (q_1+q_2)=a\times q_3$
Donc $m_1+m_2$ est encore un multiple de $a$.
$m_1-m_2=a\times q_1-a\times q_2=a\times (q_1-q_2)=a\times q_4$
Donc $m_1-m_2$ est encore un multiple de $a$.
CQFD. $\blacktiangle$

2. Diviseurs d’un nombre entier

Définition 2.
Soient $a$ et $b$ deux entiers naturels, $b\not=0$.
On dit que $b$ est un diviseur de $a$, si $a$ est un multiple de $b$.
Autrement dit :
$b$ est un diviseur de $a$ si, et seulement si, il existe un entier $q$ tel que $a=b\times q$.

Exemples

  • $2$ est un diviseur de $24$ car $24$ est un multiple de $2$, car : $24=2\times 12$
  • $4$ est un diviseur de $24$ car $24$ est un multiple de $4$, car : $24=4\times 6$
  • Les seuls diviseurs de $24$ sont : $$1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,8;\,12;\,24$$

Propriété 2.
1°) $0$ est le seul nombre entier qui admet une infinité de diviseurs.
2°) $1$ est le seul nombre entier qui admet exactement un seul diviseur qui est $1$ lui-même.
3°) Si $a\not=0$ et $a\not=1$, alors $a$ admet au moins deux diviseurs qui sont $1$ et $a$.
4°) Soit $a$ un entier naturel non nul. Alors tous les diviseurs de $a$ sont inférieurs ou égaux à $a$.
Autrement dit :
Si $a\not=0$ et $d$ est un diviseur de $a$, alors : $$\boxed{~1\leqslant d\leqslant a~}$$
Si $a\not=0$, alors il existe un nombre fini de diviseurs de $a$.

3. Exercices résolus

Exercice résolu n°1.
Déterminer tous les multiples de de $12$ inférieurs à $150$.

Il suffit d’écrire la table de multiplication de $12$ inférieurs à $150$. N’oubliez pas le $0$ qui est égal à $0\times12$.
Conclusion. La liste des multiples de de $12$ inférieurs à $150$ est :
$0$ ; $12$ ; $24$ ; $36$ ; $48$ ; $60$ ; $72$ ; $84$ ; $96$ ; $108$ ; $120$ ; $132$ ; $144$.
Le multiple suivant de $12$, égal à $156$ dépasse les $150$.

Exercice résolu n°2.
Déterminer la liste des diviseurs de $48$.

On utilise les critères de divisibilité et notre connaissance des tables de multiplication.

On sait que $1$ et $48$ sont des diviseurs de $48$.
Nous allons tester la divisibilité de $48$ par tous les nombres qui lui sont inférieurs.
Cette méthode semble longue et fastidieuse.
Néanmoins, on sait qu’à chaque « petit diviseur » correspond un « grand diviseur« . D’autre part, si $b\times q=48$, alors $q\times b=48$. Donc à un certain moment, la recherche « bascule ».

$48=2\times 24$, donc $2$ et $24$ sont des diviseurs de $48$.
$48=3\times 16$, donc $3$ et $16$ sont des diviseurs de $48$.
$48=4\times 12$, donc $4$ et $12$ sont des diviseurs de $48$.
$48$ n’est pas divisible par $5$ car $48$ ne se termine ni par $0$, ni par $5$.
$48=6\times 8$, donc $6$ et $8$ sont des diviseurs de $48$.
$48$ n’est pas divisible par $7$ car il n’est pas dans la table de $7$.
$48=8\times 6$, on atteint le point de bascule.
Conclusion. La liste des diviseurs de $48$ est $$\boxed{~{\mathcal L}_{48}=\{1;2;3;4;6;8;12;16;24;48\}~}$$

Exercice résolu n°3.
Soit $N=2\times5\times7\times11$
Calculer $N$ puis déterminer la liste de tous les diviseurs de $N$.

$N=2\times5\times7\times11=770$.
On sait que $1$ et $770$ sont des diviseurs de $770$.
Pour déterminer tous les diviseurs de $N$, nous allons faire toutes les combinaisons de produits possibles de ces nombres :

  • Avec un seul chiffre : $2$ ; $5$ ; $7$ ; $11$ ;
  • Avec deux chiffres : $2\times5=\color{brown}{10}$ ; $2\times7=\color{brown}{14}$ ; $2\times11=\color{brown}{22}$ ; $5\times7=\color{brown}{35}$ ; $5\times11=\color{brown}{55}$ et $7\times11=\color{brown}{77}$ ;
  • Avec trois chiffres : $2\times5\times7=\color{brown}{70}$ ; $2\times5\times11=\color{brown}{110}$ ; $2\times7\times11=\color{brown}{140}$ ; $5\times7\times11=\color{brown}{385}$ ;
  • Avec quatre chiffres : $2\times5\times7\times11=\color{brown}{770}$.

Conclusion. La liste des diviseurs de $N=770$ est $$\boxed{~{\mathcal L}_{770}=\{1;2;5;7;10;11;14;22;35;55;70;77;110;140;385;770\}~}$$

Exercice résolu n°4.
Déterminer la liste de tous les diviseurs de $90$.

On sait que $1$ et $90$ sont des diviseurs de $90$.
Pour déterminer tous les diviseurs de ce nombre, nous allons décomposer $90$ en facteurs premiers et faire toutes les combinaisons de produits possibles de ces nombres : $$\begin{array}{r|l} 90 & 2\\ 45& 3\\ 15& 3\\ 5& 5\\ 1&\\ \end{array}$$
Donc $\boxed{~90=2\times3\times3\times5~}$.
Cherchons maintenant toutes les combinaisons de produits possibles de ces nombres :

  • Avec un seul chiffre : $2$ ; $3$ ; $3$ ; $5$ ;
  • Avec deux chiffres : $2\times3=\color{brown}{6}$ ; $2\times5=\color{brown}{10}$ ; $3\times3=\color{brown}{9}$ ; $3\times5=\color{brown}{15}$ ;
  • Avec trois chiffres : $2\times3\times3=\color{brown}{18}$ ; $2\times3\times5=\color{brown}{30}$ ; $3\times3\times5=\color{brown}{45}$ ;
  • Avec quatre chiffres : $2\times3\times3\times5=\color{brown}{90}$.

Conclusion. La liste des diviseurs de $90$ est $$\boxed{~{\mathcal L}_{90}=\{1;2;3;5;6;9;10;15;18;30;45;90\}~}$$